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一、椭圆
1、椭圆概念
平面内与两个定点、的距离的和等于常数2(大于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若为椭圆上任意一点,则有。
椭圆的标准方程为:()(焦点在x轴上)
或()(焦点在y轴上)。
注:①以上方程中的大小,其中;
②在和两个方程中都有的条件,要分清焦点的位置,只要看和的分母的大小。
例如椭圆(,,)当时表示焦点在轴上的椭圆;当时表示焦点在轴上的椭圆。
2、椭圆的性质
①范围:
由标准方程知,,说明椭圆位于直线,所围成的矩形里;
②对称性:
椭圆关于轴、轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③四个顶点:,,,
线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为和,和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在中,,,,且,即;
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
3、点与椭圆的关系
点和椭圆()的关系:
(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上=1;
(3)点在椭圆内
二、双曲线
1、双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线。
注意:
式中是差的绝对值,在条件下;时为双曲线的一支;时为双曲线的另一支(含的一支);
当时,表示两条射线;
当时,不表示任何图形;
两定点叫做双曲线的焦点,叫做焦距。
椭圆和双曲线比较:
椭圆
双曲线
定义
方程
焦点
注意:
要分清焦点的位置,由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上
2、双曲线的性质
①范围:
从标准方程,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的外侧。
②对称性:
坐标轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③两个顶点:
实轴:线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长。
虚轴:线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
渐近线:,围成的矩形的两条对角线,称为双曲线的渐近线。
双曲线渐近线为。
⑤等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:;
2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:;(2)渐近线互相垂直(3)离心率为。
3)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为:,当时交点在轴,当时焦点在轴上。
三、抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程叫做抛物线的标准方程。
注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(,0),它的准线方程是;
(2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:,,.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
范围
对称性
轴
轴
轴
轴
顶点
离心率
说明:
(1)焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;
(3)注意强调的几何意义:是焦点到准线的距离。
四、直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故
是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切:直线与椭圆相切;
直线与双曲线相切;
直线与抛物线相切;
(3)相离:直线与椭圆相离;
直线与双曲线相离;
直线与抛物线相离。
特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。
五、弦长公式
直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为,运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则.
六、圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-;
在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;
在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。
高二圆锥曲线例题分析
例1、是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上运动,则的最大值是.
解:.≤
例2、已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.
解:由题意,设椭圆方程为,由,得,
∴,,
,∴,
∴为所求.
例3设双曲线上两点A、B,AB中点M(1,2),求直线AB方程;
解:方法一:
显然AB斜率存在设AB:y-2=k(x-1)由得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时,设A(x1,y1),B(x2,y2)则∴k=1,满足△>0
∴直线AB:y=x+1
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2)则两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵x1≠x2∴∴∴AB:y=x+1代入得:△>0
评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用点差法时,必须检验条件
△>0是否成立。
,焦点在x轴上,e=,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点,|PQ|=,且OP⊥OQ,求此椭圆的方程.
解:设椭圆方程为+=1,(a>b>0)
⑴PQ⊥x轴时,F(-c,0),|FP|=,又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ,∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=与题设e=不符,所以PQ不垂直x轴.
⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,
所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将PQ方程代入,
得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=
由|PQ|=得·=①
∵OP⊥OQ,∴·=-1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②
把,代入,解②得k2=,把代入①解得c2=3
∴a2=4,b2=1,则所求椭圆方程为+y2=1.
-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A、B?若存在,试求出A、B两点的坐标;若不存在,说明理由.
解:设AB:y=-x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0,
这里△=(4m)2-4×11[-4(m2+1)]=16(2m2+11)>0恒成立,
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则x1+x2=-,∴x0=-,y0=-x0+m=,
若A、B关于直线y=2x对称,则M必在直线y=2x上,
∴=-得m=1,由双曲线的对称性知,直线y=-x与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x对称.
∴存在A、B且求得A(,-),B(-,)
例6、求椭圆上的点到直线的距离的最小值.
解:方法一:
方法二:
设椭圆上的点为,
则距离为.
当时,.
例7、设,,,求的最大值和最小值.
分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程与椭圆方程的结构一致.
设,显然它表示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关系求得最值.
解:由,得
可见它表示一个椭圆,
其中心在点,焦点在轴上,且过(0,0)点和(3,0)点.
设,则
它表示一个圆,其圆心为(-1,0)半径为.
在同一坐标系中作出椭圆及圆,,
当圆过(0,0)点时,半径最小,即,此时;
当圆过(3,0)点时,半径最大,即,∴.
∴的最小值为0,最大值为15
例8、已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点.
求的最大值、最小值及对应的点坐标;
解:(1)如上图,,,,设是椭圆上任一点,
由,,
∴,
等号仅当时成立,此时、、共线
由,∴,
等号仅当时成立,此时、、、的直线方程,
解方程组得两交点、.
综上所述,点与重合时,取最小值,点与重合时,取最大值
例9、设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组的解.
由ax+by=1,ax+by=1,两式相减,得
a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为=-1,
所以=,
即=,==,所以b=a.①
再由方程组消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
由|AB|==
==2,
得(x1+x2)2-4x1x2=4,即()2-4·=4.②
由①②解得a=,b=,
故所求的椭圆的方程为+=1.
例10、给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,记O为坐标原点.
(1)求·的值;
(2)设=λ,当△OAB的面积S∈[2,]时,求λ的取值范围.
解:(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0),
设直线l的方程为x=my+1,
将其与C的方程联立,消去x可得y2-4my-4=0.
设A,B点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(y1>0>y2),
则y1y2=-4.
因为y=4x1,y=4x2,
所以x1x2=yy=1,
故·=x1x2+y1y2=-3.
(2)因为=λ,
所以(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),
即
又y=4x1,③
y=4x2,④
由②③④消去y1,y2后,得到x1=λ2x2,将其代入①,注意到λ>0,解得x2=.从而可得y2=-,y1=2,
故△OAB的面积S=|OF|·|y1-y2|=+,
因+≥2恒成立,所以只要解+≤即可,
解之得≤λ≤.
例11、已知O为坐标原点,点A、B分别在x轴,y轴上运动,且|AB|=8,动点P满足=,设点P的轨迹为曲线C,定点为M(4,0),直线PM交曲线C于另外一点Q.
(1)求曲线C的方程;
(2)求△OPQ面积的最大值.
解:(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),
则=(x-a,y),=(-x,b-y),
∵=,∴∴a=x,b=y.
又|AB|==8,∴+=1.
∴曲线C的方程为+=1.
(2)由(1)可知,M(4,0)为椭圆+=1的右焦点,
设直线PM方程为x=my+4,
由消去x得
(9m2+25)y2+72my-81=0,
∴|yP-yQ|=
=.
∴S△OPQ=|OM||yP-yQ|=2×
===
≤=,
当=,