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选修2-2知识点总结:
第一章导数及其应用
平均变化率:
导数(或瞬时变化率):
导函数(导数):
导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=(x0).注意:求切线方程,需判断所给点是否为切点
导数的运算:
(1)几种常见函数的导数:
①(C)′=0(C为常数);②()′=(x>0,);③(sinx)′=cosx;
④(cosx)′=-sinx;⑤(ex)′=ex;⑥(ax)′=axlna(a>0,且a≠1);
⑦;⑧(a>0,且a≠1).
(2)导数的运算法则:
①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
③.
设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处也有导数,且或。注意:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对整体的导数,乘以整体对自变量的导数。
函数的单调性:
(1)设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数;
(2)若已知可导函数在某个区间上单调递增,则,且不恒为零;若已知可导函数在某个区间上单调递减,则,且不恒为零.
注意:求单调性的步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式),区间之间用“,”隔开,不能用“”连结。
极值与最值
对于可导函数,在处取得极值,则.
最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大和最小值.
若在开区间有唯一的极值点,则是最值点。
注意:(1)求极值步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
检验的根的两侧的符号(一般通过列表),判断极大值,极小值,还是非极值点.
(2)求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。
(3)恒成立问题“”和“”,注意参数a的取值中“=”能否取到。
定积分:
⑴定积分的定义:(注意整体思想)
⑵定积分的性质:①(常数);
②;
③(其中。(分步累加)
⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):
(熟记(),,,,,)
⑷定积分的应用:
①求曲边梯形的面积:(两曲线所围面积);
注意:若是单曲线与x轴所围面积,位于x轴下方的需在定积分式子前加
“—”
②求变速直线运动的路程:;
③求变力做功:。
第二章推理与证明:
:合情推理与演绎推理
1)合情推理:
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
2)类比推理:
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
3)演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
、分析法的步骤规范(比较两个数的大小关系还可用作差法和作商法)
:①提出反设;②推出矛盾;③肯定结论。
:(1)归纳奠基;(2)递推步骤。
注意:步骤:(1)先证明命题在n=1(或)时成立,这是递推的基础;
(2)假设在n=k时命题成立,然后证明n=k+1时命题也成立,
(最后一定说明当n=k+1时,结论也成立,根据(1)(2)可知对于(或者其他)都成立,必不可少)
第三章数系的扩充与复数的引入:
复数:形如的数叫做复数,和分别叫它的实部和虚部.
分类:复数中,当,就是实数;,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
:设则
;
:
(1);(2);(3)。
:
(1)复平面、实轴、虚轴。
(2)复数。
高二数学选修2-3知识点
计数原理
知识点:
分类加法计数原理:做一件事情,完成它有N类办法,在第一类办法中有M1种不同的方法,在第二类办法中有M2种不同的方法,……,在第N类办法中有MN种不同的方法,那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。
2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成N个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有M2不同的方法,……,=M1M2...MN种不同的方法。
3、排列:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
4、排列数:
5、组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
6、组合数:;
;。
7、二项式定理:
8、二项式通项公式:(注意二项式系数与系数的区别;)
9、二项式系数的性质:
①与首末两端等距离的二项式系数相等();
②若n为偶数,第项的二项式系数()最大;若n为奇数,第和项的二项式系数(,)最大;
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用代入法(令x=-1或x=1或x=0)。
随机变量及其分布
随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不同而变化,、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn
X取每一个值xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X的概率分布,简称分布列
4、分布列性质①pi≥0,i=1,2,… ;②p1+p2+…+pn=1.
5、二点分布:如果随机变量X的分布列为:
X
0
1
P
1-p
p
其中0<p<1,则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布,并称p=P(X=1)为成功概率。
6、超几何分布:一般地,设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,
则它取值为k时的概率为,
其中,且
条件概率:对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,(B|A),读作A发生的条件下B的概率
条件概率公式:
相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。即:
n次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布:设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数,,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中(其中k=0,1,……,n,q=1-p)
于是可得随机变量ξ的概率分布如下:
这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数
12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称为ξ的数学期望或平均数、均值,。
13、方差:D(ξ)=(x1-E(ξ))2·P1+(x2-E(ξ))2·P2+......+(xn-E(ξ))2·Pn叫随机变量ξ的方差。为随机变量的标准差。它反映了随机变量的稳定程度。方差越小随机变量稳定性越好。
14、两点分布和二项分布的期望与方差:
期望
方差
两点分布
E(ξ)=p
D(ξ)=p(1-p)
二项分布,ξ~B(n,p)
E(ξ)=np
D(ξ)=np(1-p)
另外:E(X+b)=E(X)+b;D(X+b)=D(X)
15、正态分布:正态分布密度曲线就是(或近似地是)函数
的图像,其中解析式中的实数是参数,分别表示总体的平均数与标准差.
则其分布叫正态分布,,f(x)的图象称为正态曲线。
16、基本性质:
①曲线在x轴的上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线x=对称,且在x=时位于最高点.
③当时,曲线上升;当时,、右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向它无限靠近.
④当一定时,,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
17、3原则:
从上表看到,%,在
%由于这些概率很小,,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
第三章统计案例
1、回归直线方程  
其中,
2、回归直线过样本点的中心。
3、在含有一个解释变量的线性模型中,相关系数的平方,越接近于1,表示拟合效果越好。
4、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y,它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表为:
y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
c
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H1:“X与Y有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量的值,其中K2=,其中n=a+b+c+d为样本容量,K2的值越大,说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K2≤,X与Y无关;K2>,X与Y有95%可能性有关;K2>%可能性有关。
附表: