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从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
(2)加法和乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由m×n种方法来完成。
(3)一些常见排列
重复排列和非重复排列(有序)
对立事件(至少有一个)
顺序问题
(4)随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
(5)基本事件、样本空间和事件
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。
基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。
一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。
为必然事件,Ø为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。
(6)事件的关系与运算
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:AB,或者AB。AB=Ø,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算:
结合率:A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率:,
(7)概率的公理化定义
设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°0≤P(A)≤1,
2°P(Ω)=1
3°对于两两互不相容的事件,,…有
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件的概率。
(8)古典概型
1°,
2°。
设任一事件,它是由组成的,则有
P(A)==
(9)几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,
。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时,P()=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>0,则有
…………。
(14)独立性
①两个事件的独立性
设事件、满足,则称事件、是相互独立的。
若事件、相互独立,且,则有
若事件、相互独立,则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
设事件满足
1°两两互不相容,,
2°,
则有
。
(16)贝叶斯公式
设事件,,…,及满足
1°,,…,两两互不相容,>0,1,2,…,,
2°,,
则
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
,(,,…,),通常叫先验概率。,(,,…,),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
(17)伯努利概型
我们作了次试验,且满足
每次试验只有两种可能结果,发生或不发生;
次试验是重复进行的,即发生的概率每次均一样;
每次试验是独立的,即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型,或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率,则发生的概率为,用表示重伯努利试验中出现次的概率,
,。
知识点
第一章随机事件与概率
一、教学要求
,了解随机试验、样本空间的概念,掌握事件之间的关系与运算.
,掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算.
,掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,并能运用这些公式进行概率计算.
,掌握运用事件独立性进行概率计算.
,能够将实际问题归结为贝努里概型,然后用二项概率计算有关事件的概率.
本章重点:随机事件的概率计算.
二、知识要点
具有下列三个特性的试验称为随机试验:
(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;·
(2)每次试验的可能结果不止一个,但事先知道每次试验所有可能的结果;
(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.
试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间,用表示,其中的每一个结果用表示,称为样本空间中的样本点,记作.
在随机试验中,把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件(简称事件).通常把必然事件(记作)与不可能事件(记作)
看作特殊的随机事件.
3.**事件的关系及运算
(1)包含:若事件发生,一定导致事件发生,那么,称事件包含事件,记作(或).
(2)相等:若两事件与相互包含,即且,那么,称事件与相等,记作.
(3)和事件:“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件,记作;“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为
的和,记作(简记为).
(4)积事件:“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件,记作(简记为);“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件,记作(简记为或).
(5)互不相容:若事件A和B不能同时发生,即,那么称事件A与B互不相容(或互斥),若n个事件中任意两个事件不能同时发生,即(1≤i<j≤几),那么,称事件互不相容.
(6)对立事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生,即且,那么,(或逆事件)记作.
(7)差事件:若事件A发生且事件B不发生,那么,称这个事件为事件A与B的差事件,记作(或).
(8)交换律:对任意两个事件A和B有
,.
(9)结合律:对任意事件A,B,C有
,.
(10)分配律:对任意事件A,B,C有
,.
(11)德摩根(DeMorgan)法则:对任意事件A和B有
,.
(1)频率的定义
设随机事件A在n次重复试验中发生了次,则比值/n称为随机事件A发生的频率,记作,即.
(2)概率的统计定义
在进行大量重复试验中,随机事件A发生的频率具有稳定性,即当试验次数n很大时,频率在一个稳定的值(0<<1)附近摆动,规定事件A发生的频率的稳定值为概率,即
.
(3)**古典概率的定义
具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型:
(i)试验的样本空间是个有限集,不妨记作;
(ii)在每次试验中,每个样本点()出现的概率相同,即
.
在古典概型中,规定事件A的概率为
.
(4) 几何概率的定义
如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间中的区域),且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性,那么规定事件A的概率为
·
(5) 概率的公理化定义
设随机试验的样本空间为,随机事件A是的子集,是实值函数,若满足下列三条公理:
公理1(非负性)对于任一随机事件A,有≥0;
公理2(规范性)对于必然事件,有;
公理3(可列可加性)对于两两互不相容的事件,有
,
则称为随机事件A的概率.
5.**概率的性质
由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质
(1).
(2)(有限可加性)设n个事件两两互不相容,则有
.
(3)对于任意一个事件A:
.
(4)若事件A,B满足,则有
,
.
(5)对于任意一个事件A,有.
(6)(加法公式)对于任意两个事件A,B,有
.
对于任意n个事件,有
.
6.**条件概率与乘法公式
,,规定
.
在同一条件下,条件概率具有概率的一切性质.
乘法公式:对于任意两个事件A与B,当,时,有
.
7.*随机事件的相互独立性
如果事件A与B满足
,
那么,称事件A与B相互独立.
关于事件A,月的独立性有下列两条性质:
(1)如果,那么,事件A与B相互独立的充分必要条件是;如果,那么,事件A与B相互独立的充分必要条件是.
这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”.
(2)下列四个命题是等价的:
(i)事件A与B相互独立;
(ii)事件A与相互独立;
(iii)事件与B相互独立;
(iv)事件与相互独立.
对于任意n个事件相互独立性定义如下:对任意一个,任意的,若事件总满足
,
.
8.*贝努里概型与二项概率
设在每次试验中,随机事件A发生的概率,则在n次重复独立试验中.,事件A恰发生次的概率为
,
称这组概率为二项概率.
9.**全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式:如果事件两两互不相容,且,,,则
.
第二章离散型随机变量及其分布
一、教学要求
,掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布、均匀分布、几何分布及其应用.
;会利用二维概率分布计算有关事件的概率.
,了解二维随机变量的条件分布.
.
.
本章重点:离散型随机变量的分布及其概率计算.
二、知识要点
若对于随机试验的样本空间中的每个试验结果,变量都有一个确定的实数值与相对应,即,则称是一个一维随机变量.
概率论主要研究随机变量的统计规律,也称这个统计规律为随机变量的分布.
2.**离散型随机变量及其概率函数
如果随机变量仅可能取有限个或可列无限多个值,则称为离散型随机变量.
设离散型随机变量的可能取值为,
若,则称离散型随机变量的概率函数,概率函数也可用下列表格形式表示:
3.*概率函数的性质
(1) ,
(2) .
由已知的概率函数可以算得概率
,
其中,是实数轴上的一个集合.
4.*常用离散型随机变量的分布
(1) 0—1分布,它的概率函数为
,
其中,或1,.
(2) 二项分布,它的概率函数为
,
其中,,.
(4) 泊松分布,它的概率函数为
,
其中,,.
(5) 均匀分布,它的概率函数为
,
其中,.
若对于试验的样本空间中的每个试验结果,有序变量都有确定的一对实数值与e相对应,即,,则称为二维随机变量或二维随机向量.
6.*二维离散型随机变量及联合概率函数
如果二维随机变量仅可能取有限个或可列无限个值,那么,称为二维离散型随机变量.
二维离散型随机变量的分布可用下列联合概率函数来表示:
其中,.
设为二维离散型随机变量,为其联合概率函数(),称概率为随机变量的边缘概率函数,记为并有
,
称概率为随机变量Y的边缘概率函数,记为,并有
=.
.
设为二维离散型随机变量,与相互独立的充分必要条件为