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一、函数的概念与表示
1、映射
(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B。
(2)象与原象:如果给定一个从集合A到集合B的映射,那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象,a叫做b的原象。
注意点:(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。
2、函数
(1)函数的定义
①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自变量。
②近代定义:设A、B都是非空的数的集合,f:x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中,原象集合A叫做函数的定义域,象集合C叫做函数的值域。
(2)构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域
3、函数的表示方法①解析法②列表法③图象法
注意:强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域
1、函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式,解析式亦称“解析表达式”或“表达式”,简称“式”。(注意分段函数)
求函数解析式的方法:
定义法(2)变量代换法(3)待定系数法
(4)函数方程法(5)参数法(6)实际问题
2、函数的定义域:要使函数有意义的自变量x的取值的集合。
求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的,那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。复合函数定义域:已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。
三、函数的值域
在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合;
②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合;
③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定;
④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。
①直接法:从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;
②二次函数法:利用换元法将函数转化为二次函数求值域;
③反函数法:将求函数的值域转化为求它的反函数的值域;
④判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;
⑤单调性法:利用函数的单调性求值域;
⑥不等式法:利用不等式的性质求值域;
⑦图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域;
⑧几何意义法:由数形结合,转化距离等求值域。
: 设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x),x∈A,如果对于任意∈A,都有,则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数,则称函数y=具有奇偶性。
:
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称,
②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
③偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同,
④偶函数无反函数,奇函数的反函数还是奇函数,
⑤若函数f(x)的定义域关于原点对称,则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和
⑥奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1,D2,D1∩D2要关于原点对称]
⑦对于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数,则F(x)是偶函数
若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数,则F(x)是奇函数
若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数,则F(x)是偶函数
①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义;
2、判断函数单调性(求单调区间)的方法:
(1)从定义入手,(2)从图象入手,(3)从函数运算入手,(4)从熟悉的函数入手
(5)从复合函数的单调性规律入手
注:函数的定义域优先
3、函数单调性的证明:定义法“取值—作差—变形—定号—结论”。
4、一般规律
(1)若f(x),g(x)均为增函数,则f(x)+g(x)仍为增函数;
(2)若f(x)为增函数,则-f(x)为减函数;
(3)互为反函数的两个函数有相同的单调性;
(4)设是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则在M上是增函数。
六、反函数
反函数的概念:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,由y=f(x)求出,若对于C中的每一个值y,在A中都有唯一的一个值和它对应,那么叫以y为自变量的函数,这个函数叫函数y=f(x)的反函数,记作,通常情况下,一般用x表示自变量,所以记作。
注:在理解反函数的概念时应注意下列问题。
(1)只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数;
(2)反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域;
2、求反函数的步骤
(1)解关于x的方程y=f(x),达到以y表示x的目的;
(2)把第一步得到的式子中的x换成y,y换成x;
(3)求出并说明反函数的定义域(即函数y=f(x)的值域)。
3、关于反函数的性质
(1)y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称;
(2)y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性;
(3)y=f(x)和x=f-1(y)互为反函数,但对同一坐标系下它们的图象相同;
(4)已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f-1(a);
(5)f-1[f(x)]=x;
(6)若点P(a,b)在y=f(x)的图象上,又在y=f-1(x)的图象上,则P(b,a)在y=f(x)的图象上;
(7)证明y=f(x)的图象关于直线y=x对称,只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同;
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),其中a是开口方向与大小,c是Y轴上的截距,而是对称轴。
(2)顶点式(配方式):f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两根式(因式分解):f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴两交点的坐标。
求一个二次函数的解析式需三个独立条件,如:已知抛物线过三点,已知对称轴和两点,已知顶点和对称
轴。又如,已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),方程f(x)-x=0的两根为,则可设
f(x)-x=或。
(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴,顶点坐标
(1)a>0时,抛物线开口向上,函数在上单调递减,在上单调递增,时,
(2)a<0时,抛物线开口向下,函数在上单调递增,在上单调递减,时,
(x)=ax2+bx+c(a≠0)当时图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0)
方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值。二次函数与一元二次不等式的关系一元二次不等式的解集为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的的取值范围。
二次函数
△情况
一元二次方程
一元二次不等式解集
Y=ax2+bx+c(a>0)
△=b2-4ac
ax2+bx+c=0(a>0)
ax2+bx+c>0
(a>0)
ax2+bx+c<0
(a>0)
图象与解
△>0
△=0
△<0
方程无解
R
(1)正整数指数幂,(2)零指数幂
(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂;
(5)负分数指数幂
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(1)根式的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,叫做根式,叫做根指数,叫被开方数。
(2)根式的性质:①当是奇数,则;当是偶数,则
②负数没有偶次方根,③零的任何次方根都是零
(1)对数的概念
如果,那么b叫做以a为底N的对数,记
(2)对数的性质:①零与负数没有对数②③
(3)对数的运算性质
其中a>0,a≠0,M>0,N>0
(4)对数换底公式:
(5)对数的降幂公式:
指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数,从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系
名称
指数函数
对数函数
一般形式
Y=ax(a>0且a≠1)
y=logax(a>0,a≠1)
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
(0,+∞)
(-∞,+∞)
过定点
(0,1)
(1,0)
图象
指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)图象关于y=x对称
单调性
1,在(-∞,+∞)上为增函数
0<a<1,在(-∞,+∞)上为减函数
a>1,在(0,+∞)上为增函数
0<a<1,在(0,+∞)上为减函数
值分布
y>1?y<1?
y>0?y<0?
比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同
,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理)
记住下列特殊值为底数的函数图象:
研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制
指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
1、作函数图象的基本方法有两种:
描点法:1、先确定函数定义域,讨论函数的性质(奇偶性,单调性,周期性)2、列表(注意特殊点,如:零点,最大最小,与轴的交点) 3、描点,连线 如:作出函数的图象.
图象变换法:利用基本初等函数变换作图
平移变换:(左正右负,上正下负)即
对称变换:(对称谁,谁不变,对称原点都要变)
伸缩变换: