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一、基本概念:数列的定义及表示方法;数列的项与项数;有穷数列与无穷数列;常数列、递增(减)数列、摆动数列、循环数列;通项公式;前项和公式
二、任意数列的通项与前项和的关系:
若满足由推出的,则需要统一“合写”;若不满足,则数列的通项应分段表示。
三、等差数列
1、等差数列及等差中项定义
注:根据定义,当我们看到形如:、、、、、时,应能从中得到相应的等差数列。(把某个整体视为数列的项)
2、等差数列的通项公式:、(其中为首项、为已知的第项)
当时,是关于的一次式;当时,是一个常数。
3、等差数列的前项和公式:
当时,是关于的二次式且常数项为0;(可以互推)当时(),是关于的正比例式。
4、等差数列中,若,则
5、等差数列的公差为,则任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等差数列。
6、等差数列的公差为,前项和为,则数列是等差数列。
7、两个等差数列与的公差分别为和,则数列为等差数列,且公差为
8、两个等差数列与的前项和分别为、,则(推导过,见下)
(略证:)
12、在等差数列中,有关的最值问题
(1)邻项变号法
①当 、时,满足  的项数使得取最大值.
②当 、时,满足  的项数使得取最小值.
(2)利用(时,是关于的二次函数)进行配方(注意应取正整数)(见已经给你的等差数列技巧)
四、等比数列
1、等比数列及等比中项定义:
注:根据定义,当我们看到形如:、、、、应能从中得到相应的等差数列。
2、等比数列的通项公式:(其中为首项、为已知的第项,)
关于等比数列的单调性:
当时,为常数列当时,为摆动数列;
当且时,为递增数列;当且时,为递减数列;
当且时,为递增数列;当且时,为递减数列;
3、等比数列的前项和公式:当时,(是关于的正比例式);
当时,
4、等比数列中,若,则
5、等比数列的公比为,且,则任意连续项的和构成的数列、、、……仍为等比数列,
6、等比数列的任意等距离的项(项数组成等差数列)构成的数列仍为等比数列。如、、、…
7、等比数列的公比为,且,则(且)是等差数列,公比为。
五、求数列的最大、最小项的方法:
1、比差法:
例:已知数列的通项公式为:,求数列的最大项。
2、比商法:()
例:已知数列的通项公式为:,求数列的最大项。
3、利用函数的单调性:研究函数的增减性
例:已知数列的通项公式为:,求数列的最大项。
六、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
1、分组法求数列:通项虽然不是等差等比数列,但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式,再分别用公式法求和。
例:已知数列的通项为:,求
例:在等差数列中,,,依次抽取这个数列的第,,,……,项,组成数列,求数列的通项和前项和
2、错位相减法:利用等比数列前项和公式的推导方法求解,一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。
例:已知数列的通项为:,求
说明:(1)一般地,如果数列是等差数列,是等比数列且公比为,求数列的前项和时,可采用这一思路和方法。具体做法是:乘以常数,然后错位相减,使其转化为等比数列问题求解。
(2)在写出“”与“”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确写出“”的表达式;
3、裂项相消法:将数列的通项裂成两项之差求和时,正负相消,剩下首尾若干若。
常见裂项有:、
例:已知数列的通项为:,求前和
例:在等差数列中、,若,求数列的前和
4、有关绝对值的问题:
例:在等差数列中、,
(1)求数列前和;(2)求数列前和;
七、由数列递推关系式求通项公式。