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导数及其应用
导数概念的引入
导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数在处的瞬时变化率是,
我们称它为函数在处的导数,记作或,即
=
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系
运动员在t=2s时的瞬时速度是多少?
解:根据定义
即该运动员在t=,符号说明方向向下
导数的几何意义:,我们可以看出当点趋近于时,直线与曲线相切。容易知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导数就是切线PT的斜率k,即
导函数:当x变化时,便是x的一个函数,,即
基本初等函数的导数公式:
1若(c为常数),则;
2若,则;
3若,则
4若,则;
5若,则
6若,则
7若,则
8若,则
导数的运算法则
1.
2.
3.
复合函数求导
和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数
:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间单调递增;
如果,那么函数在这个区间单调递减.
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数的极值的方法是:
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;
(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数在上的最大值与最小值的步骤
求函数在内的极值;
将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章推理与证明
考点一合情推理与类比推理
根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理
根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.
类比推理的一般步骤:
找出两类事物的相似性或一致性;
用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);
一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.
一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.
考点二演绎推理(俗称三段论)
由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.
考点三数学归纳法
它是一个递推的数学论证方法.
步骤:=1(或)时成立,这是递推的基础;
=k时命题成立
=k+1时命题也成立,
完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=,且)结论都成立。
考点三证明
反证法:
分析法:
综合法:
数系的扩充和复数的概念
考点一:复数的概念
复数:形如的数叫做复数,和分别叫它的实部和虚部.
分类:复数中,当,就是实数;,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
考点二:复数的运算
,减,乘,除按以下法则进行
设则
2,几个重要的结论
(1)
(2)
(3)若为虚数,则
(1);(2);(3)
:
(1)(2)(3)(2)