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(1)线线平行
证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量.
(2)线线垂直
证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即.
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量;
③利用共面向量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量.
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有:
①证明直线方向向量与平面法向量平行;
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题.
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量);
②转化为线面平行、线线平行问题.
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直;
②转化为线面垂直、线线垂直问题.
6、运用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成角
利用公式,
但务必注意两异面直线所成角θ的范围是,
故实质上应有:.
(2)求线面角
求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求出直线与平面所成角;另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ,即可求出直线与平面所成的角θ,其关系是sinθ=|cosφ|.
(3)求二面角
用向量法求二面角也有两种方法:一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小;另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.
7、运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离.
(1)点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模.
(2)点与面的距离
点面距离的求解步骤是:
①求出该平面的一个法向量;
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即得要求的点面距离.
直线的方向向量、平面的法向量及其应用
一、直线的方向向量及其应用
1、直线的方向向量
直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.
2、直线方向向量的应用
利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面.
(1)若有直线l,点A是直线l上一点,向量是l的方向向量,在直线l上取,则对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得,这样,点A和向量不仅可以确定l的位置,还可具体表示出l上的任意点.
(2)空间中平面α的位置可以由α上两条相交直线确定,若设这两条直线交于点O,它们的方向向量分别是和,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得,这样,点O与方向向量、不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α上的任意点.
二、平面的法向量
1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量也有无数个,它们是共线向量.
2、在空间中,给定一个点A和一个向量,那么以向量为法向量且经过点A的平面是唯一确定的.
三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
1、若两直线l1、l2的方向向量分别是、,则有l1//l2//,l1⊥l2⊥.
2、若两平面α、β的法向量分别是、,则有α//β//,α⊥β⊥.
若直线l的方向向量是,平面的法向量是,则有l//α⊥,l⊥α//
四、平面法向量的求法
若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:
1、设出平面的法向量为.
2、找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
3、根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组
4、解方程组,取其中一个解,即得法向量
五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系
(一)用向量方法证明空间中的平行关系
空间中的平行关系主要是指:线线平行、线面平行、面面平行.
1、线线平行
设直线l1、l2的方向向量分别是、,则要证明l1//l2,只需证明//,即
2、线面平行
(1)设直线l的方向向量是,平面的法向量是,则要证明,只需证明,即.
(2)根据线面平行的判定定理:“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
(3)根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
3、面面平行
(1)由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.
(2)若能求出平面α、β的法向量、,则要证明α//β,只需证明//
(二)用向量方法证明空间中的垂直关系
空间中的垂直关系主要是指:线线垂直、线面垂直、面面垂直.
1、线线垂直
设直线l1、l2的方向向量分别是、,则要证明l1⊥l2,只需证明⊥,即
2、线面垂直
(1)设直线l的方向向量是,平面α的法向量是,则要证l⊥α,只需证明//
(2)根据线面垂直的判定定理,转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.
3、面面垂直
(1)根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.
(2)证明两个平面的法向量互相垂直.
六、用向量方法求空间的角
(一)两条异面直线所成的角
1、定义:设a、b是两条异面直线,过空间任一点O作直线,则与所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角.
2、范围:两异面直线所成角θ的取值范围是
3、向量求法:设直线a、b的方向向量为、,其夹角为,则有
4、注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但两者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.
(二)直线与平面所成的角
1、定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.
2、范围:直线和平面所成角θ的取值范围是
3、向量求法:设直线l的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为θ,与的夹角为,则有
(三)二面角
1、二面角的取值范围:
2、二面角的向量求法
(1)若AB、CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量与的夹角(如图(a)所示).
(2)设、是二面角的两个角α、β的法向量,则向量与的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图(b)所示).
七、用向量的方法求空间的距离
(一)点面距离的求法
如图(a)所示,BO⊥平面α,垂足为O,,则在Rt△BOA中,cos∠ABO=
。如果令平面α的法向量为,考虑到法向量的方向,可以得到B点到平面α的距离为。
因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:
1、求出该平面的一个法向量.
2、找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.
3、求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.
由于可以视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值,即.
另外,等积法也是点到面距离的常用求法.
(二)线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解。
(三)两异面直线距离的求法
如图(b)所示,设l1、l2是两条异面直线,是l1与l2的公垂线段AB的方向向量,又C、D分别是l1、l2上的任意两点,则l1与l2的距离是。
【典型例题】
、l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的位置关系。
(1)=(2,3,-1),=(-6,-9,3);
(2)=(5,0,2),=(0,4,0);
(3)=(-2,1,4),=(6,3,3)
、β的法向量,根据下列条件判断α、β的位置关系:
(1)=(1,-1,2),=(3,2,);
(2)=(0,3,0),=(0,-5,0);
(3)=(2,-3,4),=(4,-2,1)。
(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一个单位法向量。
=(1,2,2),平面α的法向量是=(-1,3,0),试求直线l与平面α所成角的余弦值。
(a)所示,在正方体中,M、N分别是、的中点。
求证:(1)MN//平面;
(2)平面。
,在正方体中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点。求证:A1O⊥平面GBD。
例7.(天津)如图(a)所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。
(1)证明:PA//平面EDB;
(2)求EB与底面ABCD所成角的正切值。
,E、F分别是、的中点,求:
(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值;
(2)二面角C—AE—F的余弦值的大小。
,E、F分别是AB、AD的中点,H是EF与AC的交点,CG⊥面ABCD,且CG=2。求
BD到面EFG的距离。