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:
sin=0
cos=1
tan=0
sin3=
cos3=
tan3=
sin=
cos=
tan=1
sin6=
cos6=
tan6=
sin9=1
cos9=0
tan9无意义
:
3
6
9
18
27
36
0
弧长公式:扇形面积公式:S=
----是圆心角且为弧度制。r-----是扇形半径
设是一个任意角,它的终边上一点p(x,y),r=
(1)正弦sin=余弦cos=正切tan=
(2)各象限的符号:
—+
+—
-
x
y
++
O
——
+
x
y
O
—+
—+
y
O
sincostan
:
(1)平方关系:sin2+cos2=1。(2)商数关系:=tan
()
诱导公式:
,,.
,,.
,,.
,,.
口诀:函数名称不变,符号看象限.
,.
,.
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
倍角公式
sin2=2sin·cos
cos2=cos2-sin2
=2cos2-1
=1-2sin2
两角和与差的三角函数关系
sin()=sin·coscos·sin
cos()=cos·cossin·sin
8、三角函数公式:
降幂公式:升幂公式:
1+cos=cos2
1-cos= sin2
 :
.
余弦定理:
;
;
.
三角形面积定理..
:
如图,在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。
(1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理)
(2)锐角之间的关系:A+B=90°;
(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义)
sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=。
:
在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边。
(1)三角形内角和:A+B+C=π。
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
。
(R为外接圆半径)
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC。
:
(1)△=aha=bhb=chc(ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高);
(2)△=absinC=bcsinA=acsinB;
:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边),这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、:若给出的三角形是直角三角形,则称为解直角三角形;若给出的三角形是斜三角形,则称为解斜三角形
解斜三角形的主要依据是:
设△ABC的三边为a、b、c,对应的三个角为A、B、C。
(1)角与角关系:A+B+C=π;
(2)边与边关系:a+b>c,b+c>a,c+a>b,a-b<c,b-c<a,c-a>b;
(3)边与角关系:
正弦定理(R为外接圆半径);
余弦定理c2=a2+b2-2bccosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA;
它们的变形形式有:a=2RsinA,,。
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
(1)角的变换
因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。;
四.【典例解析】
题型1:正、余弦定理
(2009岳阳一中第四次月考).已知△中,,,,,,则 ()
A..
答案C
例1.(1)在中,已知,,cm,解三角形;
(2)在中,已知cm,cm,,解三角形(角度精确到,边长精确到1cm)。
解析:(1)根据三角形内角和定理,
;
根据正弦定理,
;
根据正弦定理,
(2)根据正弦定理,
因为<<,所以,或
①当时,,
②当时,
,
点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2.(1)在ABC中,已知,,,求b及A;
(2)在ABC中,已知,,,解三角形
解析:(1)∵
=cos
=
=
∴
求可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
解法一:∵cos ∴
解法二:∵sin
又∵><∴<,即<<
∴
(2)由余弦定理的推论得:
cos
;
cos
;
点评:应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。
题型2:三角形面积
,,,,求的值和的面积。
解法一:先解三角方程,求出角A的值。
又,
,
。
解法二:由计算它的对偶关系式的值。
①
,
②
① + ② 得 。
① - ② 得 。
从而 。
以下解法略去。
点评:本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识,着重数学考查运算能力,是一道三角的基础试题。两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简单呢?
例4.(2009湖南卷文)在锐角中,则的值等于,
的取值范围为.
答案 2
解析设由正弦定理得
由锐角得,
又,故,
例5.(2009浙江理)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,且满足,.
(I)求的面积;(II)若,求的值.
解(1)因为,,又由
得,
(2)对于,又,或,由余弦定理得
,
例6.(2009全国卷Ⅰ理)在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且求b
分析::此题事实上比较简单,(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解法一:在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得:..
解法二:由余弦定理得:.又,.
所以 ①
又,
,即
由正弦定理得,故 ②
由①,②解得.
评析:、:两纲中明确不再考的知识和方法了解就行,不必强化训练
题型4:三角形中求值问题
,求当A为何值时,取得最大值,并求出这个最大值。
解析:由A+B+C=π,得=-,所以有cos=sin。
cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2(sin-)2+;
当sin=,即A=时,cosA+2cos取得最大值为。
点评:运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,通过三角函数的性质求得结果。
例8.(2009浙江文)(本题满分14分)在中,角所对的边分别为,且满足,.
(I)求的面积;(II)若,求的值.
解(Ⅰ)
又,,而,所以,所以的面积为:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,而,所以
所以