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立体几何初步
特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)
柱体、锥体、台体的体积公式
(4)球体的表面积和体积公式:V=;S=
第二章直线与平面的位置关系
、直线、平面之间的位置关系
1平面含义:平面是无限延展的
2三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示为
L
A
·
α
A∈L
B∈L=>Lα
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内.
C
·
B
·
A
·
α
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
P
·
α
L
β
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.
1空间的两条直线有如下三种关系:
共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点。
2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
=>a∥c
a∥b
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4注意点:
①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取在两直线中的一条上;
②两条异面直线所成的角θ∈(0,);
③当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
—、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa∩α=Aa∥α
、平面平行的判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
aα
bβ=>a∥α
a∥b
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:
aβ
bβ
a∩b=Pβ∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
—、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ=aa∥b
β∩γ=b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
、平面垂直的判定及其性质
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
—、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.
当时,;当时,;当时,不存在。
②过两点的直线的斜率公式:(P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式:直线斜率k,且过点
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,,所以它的方程是x=x1。
②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式:()直线两点,
④截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式:(A,B不全为0)
注意:各式的适用范围特殊的方程如:
平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);
(6)两直线平行与垂直
当,时,
;
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解;方程组有无数解与重合
(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,
则
(9)点到直线距离公式:一点到直线的距离
(10)两平行直线距离公式
已知两条平行线直线和的一般式方程为:,
:,则与的距离为
第四章圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
(1)标准方程,圆心,半径为r;
点与圆的位置关系:
当>,点在圆外当=,点在圆上
当<,点在圆内
(2)一般方程
当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
当时,表示一个点;
当时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;
(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
设圆,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。
当时两圆外离,此时有公切线四条;
当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当时,两圆内含;当时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
第一章空间几何体题
一、选择题
,这个几何体可能是一个().
主视图左视图俯视图
(第1题)
图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为的等腰梯形,那么原平面图形的面积是().
+ B. C. D.
().
A.
,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是().
( ).
A.∶1 B.∶2 ∶ D.∶3
△ABC中,AB=2,BC=,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线旋转一周,则所形成的几何体的体积是().
,且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是().
,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,且EF与平面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为().
(第8题)
A. D.
,错误的是().
、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
,则此物体的直观图是().
(第10题)
二、填空题
,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱.
∶2∶3,则它们的体积之比是_____________.
-A1B1C1D1中,O是上底面ABCD的中心,若正方体的棱长为a,则三棱锥O-AB1D1的体积为_____________.
,E,F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________.
(第14题)
、、,则这个长方体的对角线长是___________,它的体积为___________.
,球全部没入水中后,水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米.
三、解答题
,可以装油190L,假如它的两底面边长分别等于60cm和40cm,求它的深度.
18*.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.[提示:过正方体的对角面作截面]
,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
(第19题)
(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
第二章点、直线、平面之间的位置关系A组
一、选择题
,b为两个不同的平面,l,m为两条不同的直线,且la,m,有如下的两个命题:①若a∥b,则l∥m;②若l⊥m,则a⊥().
A.①是真命题,②是假命题B.①是假命题,②是真命题C.①②都是真命题 D.①②都是假命题
,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是().
(第2题)
∥平面CB1D1
⊥BD
⊥平面CB1D1
°
,n与平面a,b,有下列四个命题:
①m∥a,n∥b且a∥b,则m∥n; ②m⊥a,n⊥b且a⊥b,则m⊥n;
③m⊥a,n∥b且a∥b,则m⊥n; ④m∥a,n⊥b且a⊥b,则m∥n.
其中真命题的序号是().A.①② B.③④ C.①④ D.②③
:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是().
().
①若直线l上有无数个点不在平面a内,则l∥a
②若直线l与平面a平行,则l与平面a内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面a平行,则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点
,过l1作平面与l2平行,这样的平面().
,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为().
° ° ° °
().
,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
,且这些直线都在同一个平面内
:
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是().
,b所成的角60°,直线a⊥c,则直线b与c所成的角的范围为( ).
A.[30°,90°]B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°]
二、填空题
-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为.
△ABC所在平面a外一点,过P作PO⊥平面a,垂足是O,连PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,则O为△ABC的心;
(2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则O是△ABC的心;
(3)若点P到三边AB,BC,CA的距离相等,则O是△ABC的心;
(4)若PA=PB=PC,∠C=90º,则O是AB边的点;
J
(第13题)
(5)若PA=PB=PC,AB=AC,则点O在△ABC的线上.
,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为.