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一、集合
1、常用的一些数集表示方法:
N表示自然数集,N*或N+表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
2、集合三大特性:确定性、互异性、无序性
确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
互异性:任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示方法:列举法与描述法
列举法:将集合中的元素一一列举出来(元素用逗号隔开,元素不论次序均放在大括号)
例:book中的字母表示成集合b,o,o,kb,o,k
描述法:用确定的条件来表示某些对象是否属于这个集合。
例:book中的字母表示成集合A=X|X是book中的字母
所有奇数组成的组合A=X∈R|X=2K+1
中间的|不能省略,不要忘记X∈R或者X∈Z,除非上下文明确表示
4、集合相等
只要集合中的元素完全相等,两个集合就相等。
5、集合的分类
有限集:含有有限个元素的集合。
例:1,8,9,3,5
无限集:含有无限个元素的集合。
例:X∈R|X>2
空集:不含有任何元素的集合。记做Æ∅≠0
二、集合间的基本关系
1、子集、真子集、集合相等
子集:对于两个集合A、B,如果集合A中的任一元素都是集合B中的元素,则称集合A为集合B的子集。记A⊆B或者B⊇A
B
ÍA⊆B有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合
A(B)
A
真子集:A⊆B且B中至少一个元素不属于A。记A⊂≠B
集合相等:A=B,
空集是任何集合的真子集。
已知集合A有n(n≥1)个元素,则它有2n个子集,它有2n-1-个真子集,它有2n-1个非空子集,它有2n-2个非空真子集
任何一个集合都是本身的子集
∈、⊂、⊆等集合的使用
2、集合的基本运算(交集、并集、补集)
交集:A∩Bx|x∈A且x∈B
并集:A∪Bx|x∈A或x∈B
补集:CUAx|x∈U且x∉A
二、函数
1、函数表示:y=f(x),x∈A
x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值对应的y叫做函数值(因变量),函数值的集合f(x)|x∈A叫做函数的值域
定义域注意事项:
(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5),它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)
函数题目首先考虑定义域
2、映射
映射可以一对一,多对一,但是不可以多对一。
3、区间的表示
详见课本17页
4、函数表示方法
解析法、图像法、列表法详见课本19页
5、函数图象
常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换
三、函数的基本性质
单调性:对于定义域中任意x1、x2都有x1<x2都有(fx1<fx2则fx单增或单减
步骤:
奇偶性:偶函数f-x=fx奇函数f-x=-fx
一个函数为奇函数则这个函数关于原点对称;
一个函数为偶函数则这个函数关于y轴对称。
步骤:
定义域是否关于原点对称
奇、偶函数的定义是否成立
下结论