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选修2-1
第一章常用逻辑用语
互 否
为 逆
为 逆
互 否
互 否
互 否
互 逆
原命题
若p则q
互 逆
逆命题
若q则p
逆否命题
若则
逆否命题
若则
命题及其关系
四种命题相互间关系:
逆否命题同真同假
充分条件与必要条件
是的充要条件:
是的充分不必要条件:
是的必要不充分条件:
是的既充分不必要条件:
逻辑联结词“或”“且”“非”
全称量词与存在量词注意命题的否定形式(联系反证法的反设),主要是量词的变化.
例:“a=1”是“”的()
第二章圆锥曲线与方程
三种圆锥曲线的性质(以焦点在轴为例)
椭圆
双曲线
抛物线
定义
与两个定点的距离和等于常数
与两个定点的距离差的绝对值等于常数
与一个定点和一条定直线的距离相等
标准方程
图形
顶点坐标
(±a,0),(0,±b)
(±a,0)
(0,0)
对称轴
x轴,长轴长2a
y轴,短轴长2b
x轴,实轴长2a
y轴,虚轴长2b
x轴
焦点坐标
(±,0)
(±,0)
(,0)
离心率
e=1
准线
渐近线
焦半径
a,b,c,e,p
知二求二
“回归定义”是一种重要的解题策略。如:(1)在求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般是余弦定理)的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决。
直线与圆锥曲线的位置关系
(1)有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.
应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)
常见方法:①联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等;
②点差法
(主要适用中点问题,设而不求,注意需检验,化简依据:)
(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决;(注意斜率是否存在)
①直线具有斜率,两个交点坐标分别为
②直线斜率不存在,则.
(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。
考查三个方面:A存在性(相交);B中点;C垂直()
注:,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。
,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法.
:一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。
(数量积解决垂直、距离、夹角等)
(4)求曲线轨迹常见做法:定义法、直接法(步骤:建—设—现(限)—代—化)、代入法(利用动点与已知轨迹上动点之间的关系)、点差法(适用求弦中点轨迹)、参数法、交轨法等。
,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是(答:C);
.
例2已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,
.求该双曲线的标准方程(答:)
例3已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若由焦点到直线的距离为3.
(1)求椭圆分方程;(2)设椭圆与直线相交于不同的两点M,N,当|AM|=|AN|时,求m的取值范围。(答:)
例4过点A(2,1)的直线与双曲线相交于两点P1、P2,求线段P1P2中点的轨迹方程。
第三章空间向量与立体几何
空间向量及其运算
,
共线向量定理:
共面向量定理:;
四点共面
空间向量基本定理(不共面的三个向量构成一组基
底,任意两个向量都共面)
平行:(直线的方向向量,平面的法向量)(是a,b的方向向量,是平面的法向量)
线线平行:
线面平行:或,或是内不共线向量)
面面平行:
垂直
线线垂直:
线面垂直:或是内不共线向量)
面面垂直:
夹角问题
线线角(注意异面直线夹角范围)
线面角
二面角(一般步骤①求平面的法向量;②计算法向量夹角;③回答二面角(空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向),只需说明二面角大小,无需说明理由))
距离问题(一般是求点面距离,线面距离,面面距离转化为点到面的距离)
P到平面的距离(其中是平面内任一点,为平面的法向量)
立体几何解题一般步骤
坐标法:①建系(选择两两垂直的直线,借助于已有的垂直关系构造);②写点坐标;③写向量的坐标;④向量运算;⑤将向量形式的结果转化为最终结果。
基底法:①选择一组基底(一般是共起点的三个向量);②将向量用基底表示;③向量运算;④将向量形式的结果转化为最终结果。
几何法:作、证、求
异面直线夹角——平移直线(借助中位线平行四边形等平行线);
线面角——找准面的垂线,借助直角三角形的知识解决;
二面角——定义法作二面角,三垂线定理作二面角;作交线的垂面.
选修2-2
第一章导数及其应用
平均变化率
导数(或瞬时变化率)
导函数(导数):
导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=(x0).
应用:求切线方程,分清所给点是否为切点
导数的运算:
(1)几种常见函数的导数:
①(C)′=0(C为常数);②()′=(x>0,);③(sinx)′=cosx;
④(cosx)′=-sinx;⑤(ex)′=ex;⑥(ax)′=axlna(a>0,且a≠1);
⑦;⑧(a>0,且a≠1).
(2)导数的运算法则:
①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);
③.
设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处也有导数,且或。复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数。
定积分的概念,几何意义,区边图形的面积的积分形式表示,注意确定上方函数,下方函数的选取,.
物理上的应用:汽车行驶路程、位移;变力做功问题。
函数的单调性
(1)设函数在某个区间(a,b)可导,如果,则在此区间上为增函数;如果,则在此区间上为减函数;
(2)如果在某区间内恒有,则为常数。
★★★反之,若已知可导函数在某个区间上单调递增,则,且不恒为零;可导函数在某个区间上单调递减,则,且不恒为零.
求单调性的步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式),区间之间用“,”★隔开,不能用“”连结。
极值与最值
对于可导函数,在处取得极值,则.
最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若在开区间有唯一的极值点,则是最值点。
求极值步骤:
确定函数的定义域(不可或缺,否则易致错);
解不等式;
检验的根的两侧的符号(一般通过列表),判断极大值,极小值,还是非极值点.
求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某某就是最大或者最小。
恒成立问题“”和“”,注意参数的取值中“=”能否取到。
例1,过的切线方程为
例2设函数在处取得极值。
(1)求的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。
(答:(1)a=-3,b=4;(2))
例3设函数
(1)求函数的单调区间、极值.
(2)若当时,恒有,试确定a的取值范围.
(答:(1)在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减;时,,时,(2)a的取值范围是)
第二章推理与证明
分清概念:合情推理与演绎推理
综合法分析法的步骤规范
反证法步骤:①提出反设;②推出矛盾;③肯定结论
数学归纳法步骤规范:(1)归纳奠基;(2)递推步骤
(最后一定说明当n=k+1时,结论成立,根据(1)(2),结论对于(或者其他)成立,必不可少)
例1用综合法和分析证明
例2已知
例3,求的值,由此猜想的通项公式,并证明。
(答:)
第三章数系的扩充与复数的引入
复数的概念三种表示形式:代数形式:,复平面内点Z(a,b),向量.
区分实数,虚数,纯虚数,复数
复数的四则运算及其几何意义
复数的模
例1()的充要条件是_________________________
例2设复数满足条件那么的最大值是()
(A)3(B)4(C)(D)
例3实数为何值时,复数.
(1)为实数;
(2)为虚数;
(3)为纯虚数;
(4)对应点在第二象限.
.(1)若,求;(2)若,求,的值.
选修2-3
:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一
:1.
2.
(1)
(2);
(3)
:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数,记作Cn。
:
①;②;③;④
若
1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
、组合题的基本策略
(1)两种思路:①直接法;
②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
(3)分步处理:与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。其原则是先分类,后分步。
(4)两种途径:①元素分析法;②位置分析法。
:
(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;
(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;
,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=.
,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?
解一:间接法:即