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必修1
1、集合的含义与表示
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为:{元素|元素的特征},例如
2、常用数集及其表示方法
(1)自然数集N(又称非负整数集):0、1、2、3、……
(2)正整数集N*或N+:1、2、3、……
(3)整数集Z:-2、-1、0、1、……
(4)有理数集Q:包含分数、整数、有限小数等
(5)实数集R:全体实数的集合
(6)空集Ф:不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系:属于∈,不属于
例如:a是集合A的元素,就说a属于A,记作a∈A
4、集合与集合的关系:子集、真子集、相等
(1)子集的概念
B
A
A,B
(图1)
或
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(如图1),记作或.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,
记作
(2)真子集的概念
B
A
(图2)
若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集(如图2).AB或BA.
(3)集合相等:若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
5、重要结论(1)传递性:若,,则
(2)空Ф集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.
AB
6、含有个元素的集合,它的子集个数共有个;真子集有–1个;非空子集有–1个(即不计空集);非空的真子集有–2个.
7、集合的运算:交集、并集、补集
(1)一般地,由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作"A交B"),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
AB
(2)一般地,对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,
A∪B(读作"A并B"),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)若A是全集U的子集,由U中不属于A的元素构成的集合,
A
叫做A在U中的补集,记作,
注:讨论集合的情况时,不要发遗忘了的情况。
8、映射观点下的函数概念
如果A,B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈=f(x)的定义域,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(x).
9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如
10、求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
①分式的分母不为零;
②偶次方根的被开方数大于或等于零;
③对数的底数大于0且不等于1;
④对数的真数大于0;
⑤指数为0的底不能为零;,则
11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(1)奇函数满足,奇函数的图象关于原点对称;
(2)偶函数满足,偶函数的图象关于y轴对称;
注:①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则
③根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当时,都有,则在该区间上是增函数,图象从左到右上升;
当时,都有,则在该区间上是减函数,图象从左到右下降。
函数在某区间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有单调性,该区间叫做单调(增/减)区间
13、一元二次方程
(1)求根公式:(2)判别式:
(3)时方程有两个不等实根;时方程有一个实根;时方程无实根。
(4)根与系数的关系——韦达定理:,
14、二次函数:一般式;两根式
x
y
0
(1)顶点坐标为;(2)对称轴方程为:x=;
(3)当时,图象是开口向上的抛物线,在x=处取得最小值
当时,图象是开口向下的抛物线,在x=处取得最大值
(4)二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系:
时,有两个交点;时,有一个交点(即顶点);时,无交点。
15、函数的零点
使的实数叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。
注:函数有零点函数的图象与轴有交点方程有实根
16、函数零点的判定:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有。那么,函数在区间内有零点,即存在。
17、分数指数幂(,且)
(1).如;(2).如;(3);
x
y
0
1
y
图
象
1
0
x
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
(4)当为奇数时,;当为偶数时,.
18、有理指数幂的运算性质()
(1);(2);(3)
19、指数函数(且),其中是自变量,叫做底数,定义域是R
20、若,则叫做以为底的对数。记作:(,)
其中,叫做对数的底数,叫做对数的真数。
注:指数式与对数式的互化公式:
21、对数的性质
(1)零和负数没有对数,即中;
(2)1的对数等于0,即;底数的对数等于1,即
22、常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,记为:
自然对数:以e(e=…)为底的对数叫做自然对数,记为:
23、对数恒等式:
24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1);(2);
(3)(注意公式的逆用)
25、对数的换底公式(,且,,且,).
推论①或;②.
26、对数函数(,且):其中,是自变量,叫做底数,定义域是
图像
x
1
y
0
1
x
0
性质
定义域:(0,∞)
值域:R
过定点(1,0)
增函数
减函数
取值范围
0<x<1时,y<0
x>1时,y>0
0<x<1时,y>0
x>1时,y<0
27、指数函数与对数函数互为反函数;它们图象关于直线对称.
28、幂函数(),其中是自变量。要求掌握这五种情况(如下图)
29、幂函数的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
1
1
1
1
1
1
(Ⅱ)当时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间上是增函数.
(Ⅲ)当时,幂函数的图象在区间上是减函数.
必修2
30、边长为的等边三角形面积
31、柱体体积:,锥体体积:
球表面积公式:,球体积公式:(上述四个公式不要求记忆)
32、四个公理:
① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
② 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面。
③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④ 平行于同一直线的两条直线平行(平行的传递性)。
1
2
3
33、等角定理:
空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补(如图)
:(不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点)
:(在同一平面内,没有公共点)
:(在同一平面内,有一个公共点)
34、两条直线的位置关系:
直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面上;(2)直线在平面外(包括直线与平面平行,直线与平面相交)
两个平面的位置关系:(1)两个平面平行;(2)两个平面相交
35、直线与平面平行:
定义 一条直线与一个平面没有公共点,则这条直线与这个平面平行。
判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行,则该直线与此平面平行。
性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
36、平面与平面平行:
定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。
判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平 行。
性质 ① 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。
② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行。
37、直线与平面垂直:
定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直,则这条直线与这个平面垂直。
判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直。
性质①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面垂直。
38、平面与平面垂直:
定义 两个平行相交,如果它们所成的二面角是直二面角,则这两个平面垂直。
判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
39、三角形的五“心”
(1)为的外心(各边垂直平分线的交点).外心到三个顶点的距离相等
(2)为的重心(各边中线的交点).重心将中线分成2:1的两段
(3)为的垂心(各边高的交点).
(4)为的内心(各内角平分线的交点).内心到三边的距离相等
(5)为的的旁心(各外角平分线的交点).
40、直线的斜率:
(1)过两点的直线,斜率,()
(2)已知倾斜角为的直线,斜率(
(3)曲线在点(处的切线,其斜率
41、直线位置关系:已知两直线,则
特殊情况:(1)当都不存在时,;(2)当不存在而时,
42、直线的五种方程:
①点斜式(直线过点,斜率为).
②斜截式(直线在轴上的截距为,斜率为).
③两点式(直线过两点与).
④截距式(分别是直线在轴和轴上的截距,均不为0)
⑤一般式(其中A、B不同时为0);可化为斜截式:
43、(1)平面上两点间的距离公式:|AB|=
(2)空间两点距离公式|AB|=
(3)点到直线的距离(点,直线:).
44、两条平行直线与间的距离公式:
注:求直线的平行线,可设平行线为,求出即得。
45、求两相交直线与的交点:解方程组
46、圆的方程:
①,半径为
②圆的一般方程.
其中圆心为,半径为,其中>0
47、直线与圆的位置关系
其中是圆心到直线的距离,且
(1);
(2);
(3).
48、直线与圆相交于两点,求弦AB长度的公式:(1)
(2)(结合韦达定理使用),其中是直线的斜率
49、两个圆的位置关系:设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,
1);2);
3);4);
5)
必修③公式表
50、算法:是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
51、程序框图及结构
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
52、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
53、三种抽样方法的区别与联系
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽取过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽取
总体中个体数较少
分层
抽样
将总体分成几层进行抽取
各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样
总体有差异明显的几部分组成
系统抽样
将总体平均分成几部分,按事先确定的规则分别在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体较多
54、(1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距)
, ,。
(2)数字特征众数:一组数据中,出现次数最多的数。
中位数:一组数从小到大排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其平均数)。
平均数:方差:=
标准差:注:通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度;其值越小,数据越集中;其值越大,数据越分散。
回归直线方程:,其中,
55、事件的分类:
(1)必然事件:必然事件是每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=1
(2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=0
(3)随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件
基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。
56、在n次重复实验中,事件A发生的次数为m,则事件A发生的频率为m/n,当n很大时,m总是在某个常数值附近摆动,就把这个常数叫做事件A的概率。(概率范围:)
B
A
图1
57、互斥事件概念:在一次随机事件中,不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件(如图1)。
如果事件A、B是互斥事件,则P(A+B)=P(A)+P(B)
58、对立事件(如图2):指两个事件不可能同时发生,但必有一个发生。
AB
图(2)
对立事件性质:P(A)+P()=1,其中表示事件A的对立事件。
59、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征:
(1)基本事件个数是有限的;
(2)各基本事件的出现是等可能的,即它们发生的概率相同.
60、设一试验有n个等可能的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概率P(A)公式为
=
运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的概率,然后计算。在计算某些事件的概率较复杂时,可转而先示对立事件的概率。
61、几何概型的概率公式:
)
必修④公式表
62、终边相同角构成的集合:
63、弧度计算公式:
y
P(x,y)
)
x
r
64、扇形面积公式:(为弧度)
65、三角函数的定义:已知是的终边上除原点外的任一点
则,其中
66、三角函数值的符号
+
—
+
—
+
—
—
+
+
+
—
—
67、特殊角的三角函数值:
0
sin
0
1
0
-1
cos
1
0
-
-
-
-1
0
0
1
不存在
-
-1
-
0
不存在
68、同角三角函数的关系:
69、和角与差角公式:二倍角公式:
;
;
.
70、诱导公式记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限;其中,奇偶是指的个数,符号参考第66条.
71、辅助角公式:=(辅助角所在象限与点的象限相同,且).主要在求周期、单调性、最值时运用。如
72、半角公式(降幂公式):,
73、三角函数的性质()
(1)最小正周期;振幅为A;频率;相位:;初相:;值域:;
对称轴:由解得;对称中心:由解得组成的点
(2)图象平移:左加右减、上加下减。
例如:向左平移1个单位,解析式变为
向下平移3个单位,解析式变为