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第一章——集合与简易逻辑
集合——知识点归纳
定义:一组对象的全体形成一个集合
特征:确定性、互异性、无序性
表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图
分类:有限集、无限集
数集:自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集φ
关系:属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等=
运算:交运算A∩B={x|x∈A且x∈B};
并运算A∪B={x|x∈A或x∈B};
补运算={x|xA且x∈U},U为全集
性质:AA;φA;若AB,BC,则AC;
A∩A=A∪A=A;A∩φ=φ;A∪φ=A;
A∩B=AA∪B=BAB;
A∩CA=φ;A∪CA=I;C(CA)=A;
C(AB)=(CA)∩(CB)
方法:韦恩示意图,数轴分析
注意:①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2};②AB时,A有两种情况:A=φ与A≠φ
③若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1,所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式:如;;;;;;
⑤空集是指不含任何元素的集合、和的区别;0与三者间的关系空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系
绝对值不等式——知识点归纳
1绝对值不等式
与型不等式与型不等式的解法与解集:
不等式的解集是;
不等式的解集是
不等式的解集为;
不等式的解集为
2解一元一次不等式
①②
3韦达定理:
方程()的二实根为、,
则且
①两个正根,则需满足,
②两个负根,则需满足,
③一正根和一负根,则需满足
对于一元二次不等式,设相应的一元二次方程的两根为,,则不等式的解的各种情况如下表:
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
方程的根→函数草图→观察得解,对于的情况可以化为的情况解决
注意:含参数的不等式ax+bx+c>0恒成立问题含参不等式ax+bx+c>0的解集是R;其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况
简易逻辑——知识点归纳
命题可以判断真假的语句;
逻辑联结词或、且、非;
简单命题不含逻辑联结词的命题;
复合命题由简单命题与逻辑联结词构成的命题
三种形式p或q、p且q、非p
真假判断p或q,同假为假,否则为真;
p且q,同真为真,否则为假;
非p,真假相反
原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若p则q;逆否命题若q则p;互为逆否的两个命题是等价的
反证法步骤假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立
充要条件条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充分条件,
结论q成立条件p成立,则称条件p是结论q的必要条件,
条件p成立结论q成立,则称条件p是结论q的充要条件,
第二章——函数
函数定义——知识点归纳
1函数的定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域
2两个函数的相等:函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数
3映射的定义:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B
由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集
4映射的概念中象、原象的理解:(1)A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象,不一定只一个原象;(3)A中每一个元素的象唯一
函数解析式——知识点归纳
1函数的三种表示法
(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式
(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系
(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系
2求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
(2)已知求或已知求:换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
题型讲解
例1(1)已知,求;
(2)已知,求;
(3)已知是一次函数,且满足,求;
(4)已知满足,求
解:(1)∵,
∴(或)
(2)令(),
则,∴,∴
(3)设,
则
,
∴,,∴
(4)①,
把①中的换成,得②,
①②得,∴
注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法;第(4)题用方程组法
定义域和值域——知识点归纳
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练
1求函数解析式的题型有:
(1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
(2)已知求或已知求:换元法、配凑法;
(3)已知函数图像,求函数解析式;
(4)满足某个等式,这个等式除外还有其他未知量,需构造另个等式:解方程组法;
(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等
2求函数定义域一般有三类问题:
(1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;
(2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有意义;
(3)已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域:
①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域;
②若已知的定义域,其复合函数的定义域应由解出
3求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域
①直接法:利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R,值域为R;
反比例函数的定义域为{x|x0},值域为{y|y0};
二次函数的定义域为R,
当a>0时,值域为{};
当a<0时,值域为{}
②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:
的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”)
④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;
⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域;
⑥基本不等式法:转化成型如:,利用平均值不等式公式来求值域;
⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域
⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
⑨逆求法(反求法):通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围;常用来解,型如:
单调性——知识点归纳
1函数单调性的定义:
2证明函数单调性的一般方法:
①定义法:设;作差(一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);判断正负号
②用导数证明:若在某个区间A内有导数,则
在A内为增函数;在A内为减函数
3 求单调区间的方法:定义法、导数法、图象法
4复合函数在公共定义域上的单调性:
①若f与g的单调性相同,则为增函数;
②若f与g的单调性相反,则为减函数
注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集
5一些有用的结论:
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内:
增函数增函数是增函数;
减函数减函数是减函数;
增函数减函数是增函数;
减函数增函数是减函数
④函数在上单调递增;在上是单调递减
奇偶性——知识点归纳
1函数的奇偶性的定义;
2奇偶函数的性质:
(1)定义域关于原点对称;(2)偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称;
3为偶函数
4若奇函数的定义域包含,则
5判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域不受影响;
6牢记奇偶函数的图象特征,有助于判断函数的奇偶性;
7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
,
8设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
1判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应用定义的等价形式:f(-x)=±f(x)óf(-x)f(x)=0;
2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称,要重视这一点;
3若奇函数的定义域包含0,则f(0)=0,因此,“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件;
4奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性
5若存在常数T,使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立,则称T为函数f(x)的周期,
(5)函数的周期性
定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立
则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期
反函数——知识点归纳
1反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;
2定义域、值域:反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若与互为反函数,函数的定义域为、值域为,则,;
3单调性、图象:互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于对称
4求反函数的一般方法:
(1)由解出,(2)将中的互换位置,得,(3)求的值域得的定义域
二次函数——知识点归纳
二次函数是高中最重要的函数,它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是,顶点坐标是
2二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即,和(顶点式)
3根分布问题:一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:令f(x)=ax2+bx+c(a>0)
(1)x1<α,x2<α,则;(2)x1>α,x2>α,则
(3)α<x1<b,α<x2<b,则(4)x1<α,x2>b(α<b),则
(5)若f(x)=0在区间(α,b)内只有一个实根,则有
4最值问题:二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,b]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对称轴-b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
1讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②
2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置
5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系:
①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是
指数对数函数——知识点归纳
1根式的运算性质:
①当n为任意正整数时,()=a
②当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|=
⑶根式的基本性质:,(a0)
2分数指数幂的运算性质: