文档介绍：该【高中数学知识点总结曲线与方程,圆的方程 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【6】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学知识点总结曲线与方程,圆的方程 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。曲线与方程、圆的方程
:f(x,y)=0曲线C上任意一点P(x0,y0)的坐标满足方程f(x,y)=0,即f(x0,y0)=0;且以f(x,y)=0的任意一组解(x0,y0)为坐标的点P(x0,y0)在曲线C上。
依据该定义:已知点在曲线上即知点的坐标满足曲线方程;求证点在曲线上也只需证点的坐标满足曲线方程。求动点P(x,y)的轨迹方程即求点P的坐标(x,y)满足的方程(等式)。求动点轨迹方程的步骤:①建系,写(设)出相关点的坐标、线的方程,动点坐标一般设为(x,y),②分析动点满足的条件,并用等式描述这些条件,③化简,④验证:满足条件的点的坐标都是方程的解,且以方程的解为坐标的点都满足条件。
[举例1]方程所表示的曲线是:()
ABCD
解析:原方程等价于:,或;
其中当需有意义,等式才成立,即,此时它表示直线上不在圆内的部分,这是极易出错的一个环节。选D。
[举例2]已知点A(-1,0),B(2,0),动点M满足2∠MAB=∠MBA,求点M的轨迹方程。
x
y
O
B
A
M
解析:如何体现动点M满足的条件2∠MAB=∠MBA
是解决本题的关键。用动点M的坐标体现2∠MAB=∠MBA
的最佳载体是直线MA、MB的斜率。
设M(x,y),∠MAB=,则∠MBA=2,它们是直线
MA、MB的倾角还是倾角的补角,与点M在x轴的上方
还是下方有关;以下讨论:
若点M在x轴的上方,
此时,直线MA的倾角为,MB的倾角为-2,
(2)
得:,∵.
当2时,=450,为等腰直角三角形,此时点M的坐标为(2,3),它满足上述方程.
②当点M在x轴的下方时,y<0,同理可得点M的轨迹方程为,
③当点M在线段AB上时,也满足2∠MAB=∠MBA,此时y=0(-1<x<2).
综上所求点的轨迹方程为.
[巩固1]右图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,
则它的方程是
A.()·()=0
B.()·()=0
C.()·()=0
D.()·()=0
[巩固2]已知点R(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足·=,2+3=,当点P移动时,求M点的轨迹方程。
[迁移]正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是棱AB的中点,点P是平面ABCD上的一动点,且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4,则点P的轨迹为:
(圆心与半径),圆的一般方程反映了圆的代数特点(二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0A=B≠0,C=0,且D2+E2-4AF>0)。判断点P(x0,y0)与⊙M:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,用|PM|与r的大小,即:|PM|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2P在⊙M外;|PM|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2P在⊙M内;|PM|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2P在⊙M上。过两个定点A、B的圆,圆心在线段AB的中垂线上。
[举例1]一圆经过A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2,则圆的方程为。
解析:研究圆在坐标轴上的截距,宜用一般方程(因为与圆心、半径没有直接联系),设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,∵圆过点A、B,∴4D+2E+F+20=0①,-D+3E+F+10=0②,
圆在x轴上的截距即圆与x轴交点的横坐标,当y=0时,x2+Dx+F=0,x1+x2=-D
圆在y轴上的截距即圆与y轴交点的纵坐标,当x=0时,y2+Ey+F=0,y1+y2=-E
由题意知:-D-E=2③,解①②③得D=-2,E=0,F=-12。
[举例2]若存在实数k使得直线:kx-y-k+2=0与圆C:x2+2ax+y2-a+2=0无公共点,则实数a的取值范围是:。
解析:本题看似直线远的位置关系问题,其实不然。注意到直线对任意的实数k恒过定点
M(1,2),要存在实数k使得直线与⊙C相离,当且仅当M点在圆外;方程x2+2ax+y2-a+2=0
变形为:(x+a)2+y2=a2+a-2,M点在⊙C外(1+a)2+4>a2+a-2>0,解得:-7<a<-2或a>1.
注:本题中a2+a-2>0是极易疏漏的一个潜在要求。
[巩固1]过点A(3,-2),B(2,1)且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程是。
[巩固2]已知定点M(x0,y0)在第一象限,过M点的两圆与坐标轴相切,它们的半径分别为r1,
r2,则r1r2=。
[迁移]关于曲线给出下列说法:①关于直线对称;②关于直线对称;③关于点对称;④关于直线对称;⑤是封闭图形,面积小于;⑥是封闭图形,面积大于;则其中正确说法的序号是
,宜用圆心到直线的距离来研究。=(为圆的半径)直线与圆相切;过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点A、B连线的直线方程为x0x+y0y=r2。过⊙A外一点P作圆的切线PQ(Q为切点),则|PQ|=。<直线与圆相交,弦长|AB|=2;过直线A+B+C=0与圆:=0的交点的圆系方程:+(A+B+C)=0。>直线与圆相离,圆周上的点到直线距离的最小值为-,最大值为+。
[举例1]从直线x-y+3=0上的点向圆引切线,则切线长的最小值是
.-1
解析:圆的圆心A(-2,-2),直线x-y+3=0上任一点P,过引圆的切线PQ(Q为切点),则|PQ|=,当且仅当|PA|最小时|PQ|最小,易见|PA|的最小值即A到直线x-y+3=0的距离,为,此时|PQ|=,选B。
[举例2]能够使得圆上恰有两个点到直线距离等于1的的一个值为:.
解析:本题如果设圆上一点的坐标,用点到直线的距离公式得到一个方程,进而研究方程解的个数,将是非常麻烦的。注意到圆心M(1,-2),半径=2,结合图形容易知道,当且仅当M到直线:的距离∈(1,3)时,⊙M上恰有两个点到直线的距离等于1
,由=∈(1,3)得:,选C。
[巩固1]若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为( )
(A)1,-1 (B)2,-2 (C)1 (D)-1
[巩固2]直线l1:y=kx+1与圆C:x2+y2+2kx+2my=0的两个交点A、B关于直线l2:x+y=0对称,则=。
[迁移]实数x,y满足的取值范围为 ()
A. B. C. D.
、差的大小。⊙M、⊙N的半径分别为、,
|MN|>+外离,|MN|=+外切,|-|<|MN|<+相交,此时,若⊙M:
,⊙N:,过两圆交点的圆(系)的方程为:+()=0(⊙N除外)。
特别地:当=-1时,该方程表示两圆的公共弦。连心线垂直平分公共弦。|MN|=|-|内切,|MN|<|-|内含。
[举例1]已知两圆O1:x2+y2=16,O2:(x-1)2+(y+2)2=9,两圆公共弦交直线O1O2于M点,则O1分有向线段MO2所成的比λ= ()
A. B. C.- D.-
解析:直线O1O2:y=-2x,两圆公共弦:x-2y=6,于是有:M(,),有定比分点坐标公式不难得到λ的值,选C。
[举例2]若
则a的取值范围是 ()
A. B. C. D.
解析:集合A、B分别表示两个圆面(a=1时集B表示一个点),A∩B=BBA,即两圆内含;有两圆圆心分别为原点和(0,2),半径分别为4和,于是有:2≤4-,解得:,选C。
[巩固1]圆心在直线
的交点的圆的方程为 ()
A. B.
C. D.
[巩固2]若圆(x-a)2+(y-b)2=6始终平分圆x2+y2+2x+2y-3=0的周长,则动点M(a,b)的轨迹方程是
+b2-2a-2b+1=0 +b2+2a+2b+1=0
+b2-2a+2b+1=0 +b2+2a-2b+1=0
[迁移]与圆+=0外切且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程为。
+cos2=1。参数方程的重要用途是设圆上一点的坐标时,可以减少一个变量,或者说坐标本身就已经体现出点在圆上的特点了,而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系。
[举例]已知圆上任意一点P(x、y)都使不等式x+y+m³0成立,则m的取值范围是:A.[BC()D()
解析:不等式x+y+m³0恒成立m³-(x+y)恒成立,以下求-(x+y)的最大值:
记x=cos、y=1+sin,-(x+y)=-(cos+1+sin)=-1-sin(+)≤-1+,选A。
[巩固1]的最大值为。
[巩固2]在⊿ABC中,已知,c=10,P是⊿ABC的内切圆上一点,则PA2+PB2
+PC2的最大值为
[迁移]动点P,Q坐标分别为,(是参数),则|PQ|的最大值与最小值的和为.
答案
1.[巩固1]D,[巩固2]y2=4x(x>0),[迁移]在平面ABCD上建立平面直角坐标系,选C。
2、[巩固1](x-1)2+(y+1)2=5,[巩固2]∵点M在第一象限,∴过点M与两坐标轴相切的圆的方程可设为:(x-r)2+(y-r)2=r2,∵圆过M(x0,y0)点,∴(x0-r)2+(y0-r)2=r2,整理得:
r2-2(x0+y0)r+x02+y02=0,由题意知r1,r2为该方程的两根,故r1r2=x02+y02。[迁移]在曲线C上任取一点M(x0,y0),x04+y02=1,∵|x0|≤1,∴x04≤x02,∴x02+y02≥x04+y02=1,即点M在圆
x2+y2=1外,选①②③⑥;3、[巩固1]D,[巩固2]-1,[迁移]A;4、[巩固1]A,[巩固2]
圆x2+y2+2x+2y-3=0的圆心A(-1,-1),半径为,⊙M始终平分⊙A的周长即
两圆的公共弦是⊙A的直径,A在直线:2(a+1)+2(b+1)y-(a2+b2)+3=0上,将a点坐标代入即得,选B;[迁移]和,5、[巩固1]1,[巩固2]易知⊿ABC为直角三角形,a=6,b=8,c=10,则内切圆半径r=2,以C为原点建系,设P(2cos,2sin),
PA2+PB2+PC2=80-8sin,最大值为88,[迁移]|PQ|的最大、最小值分别为,和为,注:题中参数是同一个,因此点P,Q是互相有关联的,。