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第一:数的认识
1、负数:0既不是正数,也不是负数。“-”号不能省略,正数和负数可以用来表示相反意义的量。
2、以前学的:自然数,整数,小数,分数,奇数、偶数,质数、合数,互质数。第二:数的运算和解决问题
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。
2、分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
(二)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分)
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。
注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
(三)、规律:(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
(五)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×ca×c-b×c=(a-b)×c;
其它:a―b―c=a-(b+c);a-(b-c)=a-b+c=a+c-b;
a÷b÷c=a÷(b×c);a÷b×c=a×c÷b
二、分数乘法的解决问题
已知单位“1”的量,求单位“1”的几分之几是多少。(用乘法计算)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:画两条线段图;(2)部分和整体的关系:画一条线段图。
2、找单位“1”:在分率句中分率“的”前面;或“占”、“是”、“比”的后面
3、求一个数的几倍:一个数×几倍。求一个数的几分之几是多少:一个数×。
4、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“×”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1加或减分率)=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。
(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。因为1×1=1;0乘任何数都得0,(分母不能为0)
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
四、分数除法
1、分数除法的意义:
乘法:因数×因数=积除法:积÷一个因数=另一个因数
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:
除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
规律(分数除法比较大小时):
(1)当除数大于1,商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)当除数等于1,商等于被除数。
“[]”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
3、找规律填空:分析相邻数字之间的关系,用加、减、乘、除去试一试。
五、分数除法解决问题
已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。(用除法计算)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1加或减分率)=分率对应量
2、解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:就是一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:两个数的相差量÷单位“1”的量或:
①求多几分之几:大数÷小数—1或(大数—小数)÷小数
②求少几分之几:1—小数÷大数或(大数—小数)÷大数
5、工程问题:工作总量看作单位“1”,甲队独做a天完成,那么工作效率就是,乙队独做b天完成,那么工作效率就是,两队合做的天数=1÷(+)。有时先独做再合做;先合做再独做,抓住基本公式:工作时间=工作总量÷工作效率(和)
六、比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数)
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。例:路程∶时间=速度。连比如:3∶4∶5读作:3比4比5(∶不是除号)
4、区分比和比值 比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。 比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、 比和除法、分数的联系:
比前项比号“:”后项比值一种关系
除法被除数除号“÷”除数商一种运算
分数分子分数线“—”分母分数值一个数
6、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。(除数、分母也是) 体育比赛中出现两队得分是2∶0等,这只是一种记分形式,不表示两个数相除的关系。
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
:
(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
如:15∶10=15÷10=3/2=3∶2
:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。前项+后项=总共的份数路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4∶5,时间比则为5∶4)工作总量一定,工作效率比和工作时间比成反比。
(如:工作总量相同,工作时间比是3∶2,工作效率比则是2∶3)
第三:图形
一、认识圆形
1、圆的定义:圆是由封闭的曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。
,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。
用字母表示为:d=2r或r=d
8、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形;
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验:
在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。
发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。 用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。
圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈。
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,。
(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:C=πd—→d=C÷π或C=2πr—→r=C÷2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
周长的一半:等于圆的周长÷2计算方法:2πr÷2即πr
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:πr+
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。
(2)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。
(3)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径 = 长方形的宽圆的周长的一半 = 长方形的长
因为:长方形面积=长×宽 所以:圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
2
2
S圆=πr×r 圆的面积公式:S圆=πr——→r=S÷π
4、圆环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+圆环的宽度.)
2
2
2
2
S环=πR-πr 或圆环形的面积公式:S圆环=π(R-r)。
2
5、扇形的面积计算公式:S扇=πr×(n表示扇形圆心角的度数)
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。
例如:两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
8、任意一个圆的外接或内接正方形的面积之比都是一个固定值,即:4∶π∶2
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、确定起跑线:
(1)每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
(2)每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)
(3)每相邻两个跑道相隔的距离是:2×π×跑道的宽度
(4)当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用各π值结果:
π=== 4π==
6π=====
25π====
四、图形的变换和确定位置
1、图形的放大或缩小:图形的形状不变,大小不同。
2、比例尺:图上距离与实际距离的比。即图上距离∶实际距离=比例尺
比例尺分为数字比例尺(无单位)和线段比例尺(有单位)。比的前项为“1”是缩小比例尺,比的后项为“1”是放大比例尺。
已知图上距离和比例尺求实际距离,实际距离=图上距离÷比例尺;已知实际距离和比例尺求图上距离,图上距离=实际距离×比例尺(画图确定物体的位置)。
3、物体位置的确定:确定观测点后,知道物体的方向和距离就能确定物体的位置。上北下南左西右东,以观测点画“十字”坐标确定方向,以比例尺确定图上距离或实际距离。用数对确定点的位置,如(3,5)表示:(第三列,第五行)
第四:概率
可能性:用分数来表示可能性的大小,以总数为分母,可能出现的次数为分子。(约分)
第五:常用单位
长度单位:
千米(公里)1000米10分米10厘米10毫米1000微米
kmmdmcmmm
面积单位:
平方千米100公顷(平方百米)10000平方米100平方分米100平方厘米
km2hm2㎡ dm2cm2
1平方米是边长为1m的正方形的面积;其它依次类推。大母指的指甲壳的面积大约是1平方厘米。
体积或容积单位:
立方米1000立方分米(升)1000立方厘米(毫升)
m3LmL
1立方米是棱长为1m的正方体的体积;其它依次类推。两本字典或两瓶矿泉水的体积大约是1立方分米。
4、时间:年12(365或366天)月28、29、30、31天(日)24时60分60秒
第六:常用数量关系
1、加数+加数=和;加数=和-另一个加数;被减数-减数=差;被减数=减数+差;减数=被减数-差;因数×因数=积;因数=积÷另一个因数;被除数÷除数=商;被除数=除数×商;除数=被除数÷商。
单价×数量=总价;总价÷单价=数量;总价÷数量=单价;
速度×时间=路程;路程÷速度=时间;路程÷时间=速度;
工作效率×工作时间=工作总量;工作总量÷工作效率=工作时间;
工作总量÷工作时间=工作效率;收入-支出=结余
现价=原价×折数;原价=现价÷折数;折数=现价÷原价。