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考前复****新课标)
必修1
1、集合的含义与表示
一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性:、、。集合的表示有、、。
描述法格式为:{元素|元素的特征},
例如
2、常用数集及其表示方法
(1)自然数集(又称非负整数集):0、1、2、3、……
(2)正整数集或:1、2、3、……
(3)整数集:-2、-1、0、1、……
(4)有理数集:包含分数、整数、有限小数等
(5)实数集:全体实数的集合
(6)空集:不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系:属于,不属于。
例如:a是集合A的元素,就说a属于A,记作
4、集合与集合的关系:。
5、重要结论(1)传递性:若,,则
(2)空集Ф是任意集合的,是任意非空集合的.
6、含有个元素的集合,它的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个(即不计空集);非空的真子集有个.
7、集合的运算:交集、并集、补集
(1)A∩B=
(2)A∪B=
(3)
注:讨论集合的情况时,不要遗忘了的情况。
8、映射观点下的函数概念
如果A,B都是非空的,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数,记作,其中x∈A,y∈=f(x)的,象的集合C(CB)叫做函数y=f(x)=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数f(x).
9、分段函数:在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。如
10、求函数的定义域的原则:(解决任何函数问题,必须要考虑其定义域)
①分式的分母;
②偶次方根的;
③对数的底数;
④对数的真数;
⑤指数为0的底;
,则
⑥正切式的角。
11、函数的奇偶性(在整个定义域内考虑)
(1)奇函数满足,
奇函数的图象关于对称;
偶函数满足,
偶函数的图象关于对称;
注:①具有奇偶性的函数,其定义域;
②若奇函数在原点有定义,则
③根据奇偶性可将函数分为四类:。
12、函数的单调性(在定义域的某个区间内考虑)
当时,都有,则在该区间上是,图象从左到右;
当时,都有,则在该区间上是减函数,图象从左到右。
函数在某区间上是增函数或减函数,那么说在该区间具有,该区间叫做单调(增/减)区间
注意函数单调性的证明方法:
定义法:设
那么上是函数;
上是函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断
格式:解:设且,则:=…
13、一元二次方程
(1)判别式:
(2)时方程;
时方程有;时方程。
(3)求根公式:
(4)根与系数的关系——韦达定理:
,
二次函数:一般式;
两根式、
x
y
0
顶点式
(1)顶点坐标为;
(2)对称轴方程为:x=;
(3)当时,图象是开口的抛物线,
在x=处取得最小值
当时,图象是开口的抛物线,在x=处取得最大值
(4)二次函数图象与轴的交点个数和判别式的关系:
时,有交点;时,有交点(即顶点);时,交点。
17、分数指数幂(,且)
(1).如;
(2)=.如;
(3)
(4)当为奇数时,;当为偶数时,
.
18、有理指数幂的运算性质()
(1);(2);
(3)
19、指数函数,(且),其中是自变量,叫做底数,定义域是,值域是,
恒过定点。
x
y
0
1
y
图
象
x
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是函数
(4)在R上是函数
,则叫做以为底的对数。记作:
(,)
1
1
1
1
1
1
其中,叫做对数的底数,叫做对数的真数。
注:指数式与对数式的互化公式:
21、对数的性质
(1)没有对数,即中;
(2)1的对数等于,即;
底数的对数等于,即.
22、常用对数:以为底的对数叫做常用对数;
自然对数:以为底的对数叫做自然对数,(e=…)
23、对数恒等式:
24、对数的运算性质(a>0,a≠1,M>0,N>0)
(1);
(2);
(3)(注意公式的逆用)
25、对数的换底公式(,且,,且,).
推论①或;②.
26、对数函数(,且):其中,是自变量,叫做底数,定义域是
图像
x
1
y
0
1
x
0
性质
定义域:
值域:
过定点
增函数
减函数
取值范围
0<x<1时,y<0
x>1时,y>0
0<x<1时,y>0
x>1时,y<0
27、指数函数与对数函数互为反函数;它们图象关于直线对称.
28、幂函数,(),其中是自变量。要求掌握这五种情况(如下图)
29、幂函数的性质及图象变化规律:
(Ⅰ)所有幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点;
(Ⅱ)当时,幂函数的图象都通过点,并且在区间上是函数.
(Ⅲ)当时,幂函数的图象都通过点,在区间上是函数.
15、方程的根与函数的零点
①、叫做函数的零点。例如是函数的一个零点。
②、方程函数的图象与轴函数有零点.
16、零点存在性定理:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根.
必修2
30、边长为的等边三角形面积
31、柱体体积:;锥体体积:;
台体的体积:=;球体积公式:。
柱体表面积:;
锥体表面积;
台体表面积=;
球表面积公式:。
32、四个公理:
① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么。
② 过不在一条直线上的三点,。
③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有。
④ 平行于同一直线的两条直线。
33、等角定理:
1
2
3
空间中如果两个角的两边对应平行,那么这两个角
。
34、两条直线的位置关系:
:(不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点)
:(在同一平面内,没有公共点)
:(在同一平面内,有一个公共点)
直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面;(2)直线在平面(包括直线与平面,直线与平面)
两个平面的位置关系:(1)两个平面;(2)两个平面。
35、直线与平面平行:
定义 一条直线与一个平面,则这条直线与这个平面平行。
判定 平面一条直线与此平面的一直线,则该直线与此平面平行。(简称线线平行,则线面平行)
性质 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线。(线面平行,线线平行)
36、平面与平面平行:
定义 两个平面没有公共点,则这两平面平行。
判定 若一个平面内有与另一个平面,则这两个平面平行。(线面平行,则面面平行)
性质 ① 如果两个平面平行,则其中一个面内的任一直线与另一个平面。(面面平行,则线线平行)
② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的。
37、直线与平面垂直:
定义 如果一条直线与一个平面内的,则这条直线与这个平面垂直。
判定 一条直线与一个平面内的,则这条直线与这个平面垂直。(线线垂直,线面垂直)
性质 ①垂直于同一平面的两条直线。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直,则另一条也与这个平面。
38、平面与平面垂直:
定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是,则这两个平面垂直。
判定 一个平面过另一个平面的,则这两个平面垂直。(线面垂直,则面面垂直)
性质 两个平面垂直,则一个平面内直线与另一个平面垂直。(面面垂直,则线面垂直)
39、三角形的五“心”
(1)为的外心(各边线的交点).外心到的距离相等
(2)为的重心(各边的交点).重心将中线分成:的两段
(3)为的垂心(各边的交点).
(4)为的内心(各的交点).内心到
的距离相等
(5)为的旁心(各的交点).
40、直线的斜率:(1)过两点的直线,
斜率,()
(2)已知倾斜角为的直线,斜率(
画出与k的关系图:
(3)曲线在点(处的切线,其斜率
41、直线的五种方程:
①点斜式(直线过点,斜率为).
②斜截式(直线在轴上的截距为,斜率为).
③两点式(直线过两点与).
④截距式(分别是直线在轴和轴上的截距,均不为0)
⑤一般式(其中A、B不同时为0);
可化为斜截式:
42、直线位置关系:
已知两直线,则
;。
特殊情况:(1)当都不存在时,;
当不存在而时,
已知两直线有:
;
⑵和相交
⑶和重合;
.
43、(1)平面上两点间的距离公式:|AB|=
(2)空间两点距离公式
|AB|=
点到直线的距离
d=
(点,直线:).
44、两条平行直线与间的距离公式:
注:求直线的平行线,可设平行线为,求出即得。
求直线的垂线,可设垂线为,求出即得。
45、求两相交直线与的交点:解方程组
46、圆的方程:
①,半径为
②圆的一般方程.
其中圆心为,半径为,其中>0.
其中是圆心到直线的距离,且
47、直线与圆的位置关系
(1);
(2);
(3).
48、直线与圆相交于两点,求弦AB长度的公式:(1)
(2)(结合韦达定理使用),其中是直线的斜率
49、两个圆的位置关系:设两圆的圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,
1)有条公切线;
2)有条公切线;
3)有条公切线;
4)有条公切线;
5)有条公切线。
必修③
50、算法:是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
51、程序框图及结构
程序框
名称
功能
起止框
表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框
判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N”。
算法的三种基本逻辑结构:
语句n+1
语句n
序结构示意图
⑵条件结构示意图:
①IF-THEN-ELSE格式:
满足条件?
语句1
语句2
是
否
(图2)
满足条件?
语句
是
否
②IF-THEN格式:
(图3)
⑶循环结构示意图:
满足条件?
循环体
是
否
①当型(WHILE型)循环结构示意图:
(图4)
满足条件?
循环体
是
否
②直到型(UNTIL型)循环结构示意图:
(图5)
4、基本算法语句:
①输入语句的一般格式:INPUT“提示内容”;变量
②输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式
③赋值语句的一般格式:变量=表达式
(“=”有时也用“←”).
IF条件THEN
语句
ENDIF
IF条件THEN
语句1
ELSE
语句2
ENDIF
④条件语句的一般格式有两种:
53、三种抽样方法的区别与联系
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽取过程中每个个体被抽取的概率相等
从总体中逐个抽取
总体中个体数较少
分层
抽样
将总体分成几层进行抽取
各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样
总体有差异明显的几部分组成
系统抽样
将总体平均分成几部分,按事先确定的规则分别在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体较多
54、(1)频率分布直方图(注意其纵坐标是“频率/组距)
, ,。
数字特征
众数:一组数据中,。
中位数:一组数排列,最中间的那个数(若最中间有两个数,则取其)。
平均数:
方差:=
标准差:S=
注:通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度;其值越,数据越集中;其值越,数据越分散。
回归直线方程:,其中,
回归直线方程一定过点。
55、事件的分类:
(1)必然事件:每次试验都一定出现的事件。P(必然事件)=
(2)不可能事件:任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P(不可能事件)=
(3)随机事件:随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件,简称为事件
基本事件:一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件,称作基本事件。
56、在n次重复实验中,事件A发生的次数为m,则事件A发生的频率为,当n很大时,m总是在某个常数值附近摆动,就把这个常数叫做事件A的。(概率范围:)
B
A
图1
57、互斥事件概念:
在一次随机事件中,
两个事件,叫做互斥事件(如图1)。
如果事件A、B是互斥事件,则P(A+B)=
AB
图(2)
58、对立事件(如图2):
指两个事件不可能,
但。
对立事件性质:P(A)+P()=,其中表示事件A的对立事件。
59、古典概型是最简单的随机试验模型,古典概型有两个特征:
(1)基本事件个数是;
(2)各基本事件的出现是,即它们发生的概率.
60、设一试验有n个等可能的基本事件,而事件A恰包含其中的m个基本事件,则事件A的概率P(A)公式为
=
运用互斥事件的概率加法公式时,首先要判断它们是否互斥,再由随机事件的概率公式分别求它们的概率,然后计算。在计算某些事件的概率较复杂时,可转而先求对立事件的概率。
61、几何概型的概率公式:
)
必修④
62、与角终边相同角构成的集合:
63、弧度计算公式:
64、扇形面积公式:=(为弧度)
y
P(x,y)
)
x
r
65、三角函数的定义:已知是的终边上除原点外的任一点则
;
cos=;
tan=.其中
+
—
+
—
66、三角函数值的符号
+
—
—
+
+
+
—
—
67、特殊角的三角函数值
0
68、同角三角函数的关系:
平方关系:
商数关系:
69、和角与差角公式、二倍角公式:
;==
降次公式;
.
诱导公式记忆口诀:;
其中,奇偶是指的个数,符号参考第66条.
;;
;
辅助角公式:=(辅助角所在象限与点的象限相同,且).主要在求周期、单调性、最值时运用。
如
半角公式(降幂公式):
,,
=。
73、三角函数的性质()
(1)最小正周期;振幅为;频率;
相位:;初相:;值域:;
对称轴:由解得;
对称中心:由解得组成的点。
(2)图象平移:左加右减、上加下减。
例如:向左平移1个单位,解析式变为
向下平移3个单位,解析式变为
(3)函数的最小正周期
74、正弦定理:在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等。===(R是三角形外接圆半径)
a=;b=;c=.
sinA=;sinB=;sinC=.
a:b:c=.
75、余弦定理:
=
推论;
;
76、三角形的面积公式:
===
77、函数图象的变换:
平移变换
-------à
-------à
---------à
伸缩变换
----------à()
-----------à
对称变换
-----------à
-----------à
-----------à
翻折变换
-----------à
-----------à
若,则函数关于直线
对称。
若,则是的周期函数;若或呢?
78、三角函数的图象与性质和性质
三角函数
y
x
0
1
-1
-
y
x
y
0
-
图象
-
-1
1
0
x
定义域
值域
最大值
,
,
最小值
,
,
周期
奇偶性
函数
函数
函数
单调性
在(kz)
上是增函数
在(kz)
上是增函数
在(kz)
上都是增函数
在(kz)
上是减函数
在(kz)
上是减函数
对称性
对称轴x=
对称中心()
对称轴x=
对称中心()
对称中心()
向量的三角形法则:
a
a+b
b
a
b
b-a
向量的平行四边形法则:
a
b
a+b
80、平面向量的坐标运算:设向量a=,向量b=
(1)加法a+b=.
(2)减法a-b=.
(3)数乘a=
(4)数量积a·b==,其中是这两个向量的夹角
(5)已知两点A,B,则向量
81、向量a=的模:|a|=,即
两向量的夹角公式
cos==
82、向量的平行与垂直(b0)
a||b.
ab.
其中:a=,b=
83、设,则
段AB中点坐标为,
⑵△ABC的重心坐标为
84、若,
则A、B、C三点共线
向量在向量方向上的投影为。
必修⑤
85、数列前项和与通项公式的关系:
(数列的前n项的和为).
86、等差、等比数列公式对比
等差数列
等比数列
定义式
()
通项公式及推广公式
中项公式
若成等差,则
若成等比,则
运算性质
若,则
若,则
前项和公式
=
一个性质
成
成
87、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ公式法:若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式构造两式作差求解。
要先分和两种情况分别进行运算,然后验证能否统一。
类型Ⅲ累加法:
形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:
将上述个式子两边分别相加,可得:
①若是关于的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若是关于的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
③若是关于的二次函数,累加后可分组求和;
④若是关于的分式函数,累加后可裂项求和.
类型Ⅳ累乘法:形如型的递推数列(其中是关于的函数)可构造:
将上述个式子两边分别相乘,可得:
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解。
类型Ⅴ构造数列法:
㈠形如(其中均为常数且)型的递推式:
(1)若时,数列{}为等差数列;
(2)若时,数列{}为等比数列;
(3)若且时,数列{}为线性递推数列,:
解法:设,展开移项整理得,与题设比较系数得,即构成以为首项,
的通项整理可得
88、非等差、等比数列前项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列为等差数列,数列为等比数列,则数列的求和就要采用此法.
②将数列的每一项分别乘以的公比,然后在错位相减,进而可得到数列的前项和.
此法是在推导等比数列的前项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法
常见的拆项公式有:
;
=
分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,:①找通向项公式;②由通项公式确定如何分组.
⑷倒序相加法
如果一个数列,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为倒序相加法。特征:
⑸记住常见数列的前项和:
①
②
89、解不等式
(1)、含有绝对值的不等式当a>0时,
有.[小于取中间]
或.[大于取两边]
(2)、解一元二次不等式的步骤:
①求判别式
②求一元二次方程的解:
两相异实根一个实根没有实根
③画二次函数的图象
④结合图象写出解集
解集
解集
(3)高次不等式:数轴标根法(奇穿偶回,大于取上,小于取下)
(4)分式不等式:先移项通分,化一边为0,再将除变乘,化为整式不等式,求解。
(5)、指数不等式的解法:
⑴当时,
⑵当时,
规律:根据指数函数的性质转化.
(6)、对数不等式的解法
⑴当时,
⑵当时,
规律:根据对数函数的性质转化.
(7)、含绝对值不等式的解法:
⑴定义法:
⑵平方法:
⑶同解变形法,其同解定理有:
①
②
③
④