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目录
第一章集合、常用逻辑用语……………………………………………………………………………………1
第二章函数………………………………………………………………………………………………………2
第三章导数及其应用……………………………………………………………………………………………5
第四章三角函数…………………………………………………………………………………………………6
第五章平面向量、复数…………………………………………………………………………………………8
第六章数列………………………………………………………………………………………………………9
第七章不等式……………………………………………………………………………………………………10
第八章直线与方程、圆与方程…………………………………………………………………………………11
第九章圆锥曲线与方程…………………………………………………………………………………………12
第十章立体几何…………………………………………………………………………………………………13
第十一章统计、概率、推理证明、算法………………………………………………………………………15
第十二章计数原理、二项式定理、概率分布列………………………………………………………………16
第十三章选修4…………………………………………………………………………………………………17
第一章集合、常用逻辑用语
:(1)集合的特征:互异性、确定性、整体性、无序性.
(2)常用集合:自然数集,正整数集或,有理数集,实数集,复数集.
(3)元素与集合的关系:若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作.
(4)集合的表示:列举法,描述法,图,区间:,
,,,.
:
如果集合中的每一元素都是集合的元素,则称是的子集,.
如果且,则称是的真子集,记作或.
含有个元素的集合共有个子集(其中有个真子集).
:
集合的运算
交集
并集
补集
定义
A=
图示
性质
:原命题:若则,逆命题:若则,否命题:若则,逆否命题:若则.
原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.
:如果,则称是的充分条件,是的必要条件.
如果且,则称是的充分不必要条件;
如果且,则称是的必要不充分条件;
如果且,则称是的充要条件;
如果且,则称是的既不充分又不必要条件.
:或():一真则真;且():一假则假;非():与一真一假.
注意:否命题与命题的否定不同!否命题——条件结论都否定,命题的否定——只否定条件,结论不变.
:“”的否定为“”;
“”的否定为“”.
第二章函数—
:设A、B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,:y=f(x),x∈A.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做函数的值域.
:增函数:;减函数:.
注意:单调区间不能随便并.
:偶函数图象关于y轴对称;
奇函数图象关于原点对称.
注意:奇、,且有意义,则.
:
(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么,
称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记为;
设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么,
称f(x0)为函数y=f(x)的最小值,记为.
(2)性质:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则.
如果函数y=f(x)在[a,c]上递增,在[c,b]上递减,则,.
(1)正比例函数与一次函数的图象都是直线,
当时,在上单调递增;当时,在上单调递减.
(2)反比例函数:.定义域是,值域是.
:图象是一、三象限的双曲线,在和上单调递减;
:图象是二、四象限的双曲线,在和上单调递增.
(3)二次函数:一般式;顶点式(顶点是);
交点式(与轴交于点、).
图象
值域
单调性
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递增
在上单调递减
顶点、对称性
顶点,图象关于直线成轴对称图形
图象与轴的交点
△>0,二次函数的图象与轴有两个交点;
△=0,二次函数的图象与轴有一个交点;
△<0,二次函数的图象与轴没有交点.
(1)指数的概念:①;②;③;
④;⑤.
(2)性质:①;②;③;④;⑤.
(3)指数函数:函数叫指数函数,它的定义域是.
图
象
性
质
(1)定义域:R
(2)值域:
(3)过定点(0,1)(因为)
(4)时,;
时,.
(4)时,;
时,.
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数
(1)对数
①定义:.,.
②基本性质:真数大于零;;;;.
③运算性质:如果,则;
;R).
④换底公式:,其中.
(2)对数函数:函数叫对数函数,它的定义域是.
图象
性
质
(1)定义域:
(2)值域:
(3)过定点(1,0)(因为)
(4)时,;
时,.
(4)时,;
时,.
(5)在上是增函数
(5)在是减函数
(1)概念:函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.
(2)图象与性质:当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.
:
(1)平移变换:
①函数的图像:把函数的图像向左或向右平移个单位;
②函数的图像:把函数的图像向上或向下平移个单位.
(2)对称变换:①函数的图像:将函数的图像关于轴对称;
②函数的图像:将函数的图像关于轴对称;
③函数的图像:将函数的图像关于原点对称.
(3)翻折变换:
①函数的图像:将函数的图像
的轴下方部分沿轴翻折到轴上方,去掉原
轴下方部分,并保留的轴上方部分;
②函数的图像:将函数的图像
的轴右边部分沿轴翻折到轴左边替代原轴
左边部分,并保留在轴右边部分
(1)函数零点概念:使函数的值为的实数称为函数的零点.
(2)零点存在定理:若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线,且,
则函数在区间上有零点.
第三章导数及其应用
:(是常数),,,,,;
;;;;;.
:;,
(是常数);.
(理)若,则.
:
(1)导数的几何意义:函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.
(2)导数与单调性:是增函数,是减函数.
(3)导数与极值:
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗
(4)求函数在区间上的最值:第一步,求在区间上的极值;
第二步,将第一步中求得的极值与比较,得到在区间上的最值.
注:①也可先解得,再直接比较的大小.
②若函数在区间上有唯一极值,则极值一般也是最值.
第四章三角函数
(1)任意角的概念:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.
四
三
二
一
四
三
二
一
已知角所在象限,可利用此图确定所在象限
(2)弧度制:角度制与弧度制的换算主要抓住;.
弧长公式:(是圆心角的弧度数),扇形面积公式:.
(3)任意角的三角函数:
①定义:点是角的终边上的任一点,,
.
结论:,即点的坐标为.
②特殊角的三角函数值:
不存在
不存在
③三角函数值的正负:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
(4)同角三角函数关系:,.
(5)诱导公式:=,=,.其中.
=,=,.
=,=,=.
=,=,.
=,=.=,=.
函数
图象
定义域
值域
最值
当时有最大值
当时有最小值
当时有最大值
当时有最小值
无
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增区间:
减区间:
增区间:
减区间:
增区间:
对称性
对称中心为:
对称轴为:
对称中心为:
对称轴为:
对称中心为:
周期性:对于函数,如果存在一个非零的常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.
函数、的周期都是;
函数的周期是.
图象变换:
五点作图法:作函数
的简图,可令分别等于.
(1)两角和与差的三角函数:;;
.
(2)二倍角公式:;;
.
(3)公式变形:
①辅助角公式:,.
②降幂公式:;.
(1)直角三角形中各元素间的关系:在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a.
①三边之间的关系(勾股定理):a2+b2=c2.
②锐角之间的关系:A+B=90°.
③边角之间的关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=.
(2)斜三角形中各元素间的关系:
①边与边关系:任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边.
②边与角的关系:1)正弦定理:(R为外接圆半径).
变形:,,.
2)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC.
变形:,,.
3)大边对大角,.
(3)三角形的面积公式:=absinC=bcsinA=acsinB(是内切圆半径).
第五章平面向量、复数
:(1)零向量:长度为0的向量,记为,:模为1个单位长度的向量.
(2)平行向量(共线向量)::∥.
(1)向量加法:①三角形法则:设,则+==.
②平行四边形法则:两个向量要共起点.③规定:.
(2)向量的减法:可以表示为从的终点指向的终点的向量..
(3)实数与向量的积:;当时,的方向与的方向相同;当时,:.
:
(1)平面向量基本定理:如果是两个不共线向量,那么对于任一向量,,则;若,则.
(2)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底,该平面内的任一向量可表示成,则把(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y).
(3)向量坐标与点坐标的关系:设,则,.
(4)平面向量的坐标运算:
①若,则,;
②若=(x,y),则=(x,y);③若,则.
(1)向量的数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积,
(2)向量数量积的性质及其坐标表示:设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
①数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.②模:|a|==.
③夹角:cosθ=.④a⊥ba·b=0.
:(1).
(2).复数是纯虚数.
(3)复数相等:.
.
(4)复数的模:.
(5)共轭复数:若,则..
:(1)加法:,
(2)减法:,
(3)乘法:,
(4)的乘方:,
(5)除法:.
:.复数加减法的几何意义类似于向量的加减法.
第六章数列
(1)定义:或、.
(2)通项公式:.叠加法.
(3)性质:;.
若是等差数列,公差是,则、、都是等差数列,它们的公差分别是、、.
(4)求和公式:.倒序相加法.
:(1)定义:或、.
(2)通项公式:.累乘法.
(3)性质:;.
若是等比数列,公比是,则、、都是等比数列,它们的公比分别是
、、.
(4)求和公式:当时,;当时,.错位相减法.
:当时,;当时,.
第七章不等式
:(1)对称性:;(2)传递性:;
(3)加法:,;
(4)乘法:,,.
(5)乘方:,(是正奇数);
(6)开方:.
、二次方程
之间的关系:
判别式
一元二次方程
的实数根
有两相异实数根
()
有两相等实数根
方程没有实数根
二次函数
图像
x
y
o
x2
x1
x
y
o
x1=x2
x
y
o
一元二次不等式
解集
一元二次不等式
解集
:(1)确定二元一次不等式表示的平面区域时,经常采用“直线定界,特殊点定域”:当,表示直线右边,表示直线的左边;当,若表示直线上方,若则表示直线的下方.
(2)求线性目标函数的最值:①当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最大,在轴上截距最小时,,则的值越来越大;直线向下平移,则的值越来越小.②当时,直线过可行域且在轴上截距最大时,值最小,在轴上截距最小时,,则的值越来越小;直线向下平移,则的值越来越大.
:(当且仅当时取等号);
,;;.
注意:一正、二定、三相等——①若是负数,则可乘负号或提取负号,转化为正数;②若使用基本不等式后得不到定值,则可凑项或凑系数;③若等号不能成立,,更要注意等号能否成立.
第八章直线与方程、圆与方程