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方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点{方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。
二、圆:
1、定义:点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为半径是。配方,将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+)2+(y+)2=
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-,-);
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r点M在圆C内,|MC|=r点M在圆C上,|MC|>r点M在圆C内,其中|MC|=。
直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交
有两个公共点;直线与圆相切有一个公共点;直线与圆相离没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线:
椭圆
双曲线
抛物线
定义
,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
.(0<e<1)
,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹
.(e>1)
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集:({M||MF1+|MF2|=2a,|F1F2|<2a=
点集:{M||MF1|-|MF2|.
=±2a,|F2F2|>2a}.
点集{M||MF|=点M到直线l的距离}.
图形
方
程
标准方程
(>0)
(a>0,b>0)
参数方程
(t为参数)
范围
─a£x£a,─b£y£b
|x|³a,yÎR
x³0
中心
原点O(0,0)
原点O(0,0)
顶点
(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)
(a,0),(─a,0)
(0,0)
对称轴
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
x轴,y轴;
实轴长2a,虚轴长2b.
x轴
焦点
F1(c,0),F2(─c,0)
F1(c,0),F2(─c,0)
准线
x=±
准线垂直于长轴,且在椭圆外.
x=±
准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.
x=-
准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.
焦距
2c(c=)
2c(c=)
离心率
e=1
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,,它们具有共同的渐近线:.
⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.
【备注2】抛物线:
(1)抛物线=2px(p>0)的焦点坐标是(,0),准线方程x=-,开口向右;抛物线=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0),准线方程x=,开口向左;抛物线=2py(p>0)的焦点坐标是(0,),准线方程y=- ,开口向上;
抛物线=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-),准线方程y=,开口向下.
(2)抛物线=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离;抛物线=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
(3)设抛物线的标准方程为=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为,顶点到准线的距离,焦点到准线的距离为p.
(4)已知过抛物线=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长=+p或(α为直线AB的倾斜角),,(叫做焦半径).
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向),点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
(3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐标系x′O′y′′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则或
叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
方程
焦点
焦线
对称轴
椭圆
+=1
(±c+h,k)
x=±+h
x=h
y=k
+=1
(h,±c+k)
y=±+k
x=h
y=k
双曲线
-=1
(±c+h,k)
x=±+k
x=h
y=k
-=1
(h,±c+h)
y=±+k
x=h
y=k
抛物线
(y-k)2=2p(x-h)
(+h,k)
x=-+h
y=k
(y-k)2=-2p(x-h)
(-+h,k)
x=+h
y=k
(x-h)2=2p(y-k)
(h,+k)
y=-+k
x=h
(x-h)2=-2p(y-k)
(h,-+k)
y=+k
x=h
六、椭圆的常用结论:
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.
椭圆(a>b>0)的焦半径公式,(,).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
若在椭圆内,则被Po所平分的中点弦的方程是;
【推论】:
1、若在椭圆内,则过Po的弦中点的轨迹方程是。椭圆(a>b>o)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2、过椭圆(a>0,b>0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
3、若P为椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,,则.
4、设椭圆(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记,,,则有.
5、若椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6、P为椭圆(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则,当且仅当三点共线时,等号成立.
7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.
8、已知椭圆(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且.(1);(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为;(3)的最小值是.
9、过椭圆(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则.
10、已知椭圆(a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.
11、设P点是椭圆(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记,则(1).(2).
12、设A、B是椭圆(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,,,,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1).(2).(3).
13、已知椭圆(a>b>0)的右准线与x轴相交于点,过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上,且轴,则直线AC经过线段EF的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论:
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
5、若在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程是.
6、若在双曲线(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7、双曲线(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点,则双曲线的焦点角形的面积为.
8、双曲线(a>0,b>o)的焦半径公式:(,)当在右支上时,,;当在左支上时,,。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.
11、AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
12、若在双曲线(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是.
13、若在双曲线(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是.
【推论】:
1、双曲线(a>0,b>0)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.
2、过双曲线(a>0,b>o)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).
3、若P为双曲线(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,,,则(或).
4、设双曲线(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记,,,则有.
5、若双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e≤时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6、P为双曲线(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时,等号成立.
7、双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条件是