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,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么?
A表示函数y=lgx的定义域,B表示的是值域,而C表示的却是函数上的点的轨迹
2进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/,这里千万小心,还有一个B为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。
:
要知道它的来历:若B为A的子集,则对于元素a1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a2,a3,……an,都有2种选择,所以,总共有种选择,即集合A有个子集。
当然,我们也要注意到,这种情况之中,包含了这n个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为,非空真子集个数为
(3)德摩根定律:
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
?(排除法、间接法)
的取值范围。
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过;如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上单调递减,在上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=,我说在上,也应该马上可以想到m,n实际上就是方程的2个根
5、熟悉命题的几种形式、
命题的四种形式及其相互关系是什么?
(互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)
满足条件,满足条件,
若;则是的充分非必要条件;
若;则是的必要非充分条件;
若;则是的充要条件;
若;则是的既非充分又非必要条件;
?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B中有元素无原象。)
注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个。
如:若,;问:到的映射有个,到的映射有个;到的函数有个,若,则到的一一映射有个。
函数的图象与直线交点的个数为个。
?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
?
函数定义域求法:
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
正切函数
余切函数
反三角函数的定义域
函数y=arcsinx的定义域是[-1,1] ,值域是,函数y=arccosx的定义域是[-1,1],值域是[0,π],函数y=arctgx的定义域是R,值域是.,函数y=arcctgx的定义域是R,值域是(0,π).
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
?
义域是_____________。
复合函数定义域的求法:已知的定义域为,求的定义域,可由解出x的范围,即为的定义域。
例若函数的定义域为,则的定义域为。
分析:由函数的定义域为可知:;所以中有。
解:依题意知:
解之,得
∴ 的定义域为
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=,,的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=(2≤x≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:已知点P()在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:[10,+∞)
例求函数y=+的值域
解:原函数可变形为:y=+
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2
,-1
)的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,
y=∣AB∣=
=,
故所求函数的值域为[,+∞)。
例求函数y=
-的值域
解:将函数变形为:y=
-
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0
)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差。即:y=∣AP∣-∣BP∣
由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P¹,则构成△ABP¹,根据三角形两边之差小于第三边,
有∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣<∣AB∣=
=
即:-<y<
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=
∣AB∣=。
综上所述,可知函数的值域为:(-,-)。
注:求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x
轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧。
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例:
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例求函数y=的值域
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题:
()函数的反函数是(B)
=x2-2x+2(x<1) =x2-2x+2(x≥1)
=x2-2x(x<1) =x2-2x(x≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不****惯计算。下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y>=,。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1,答案为B.
我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢?
?
反函数性质:
反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
()已知函数,
对于这一类题目,其实方法特别简单,呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗?那代进去阿,答案是不是已经出来了呢?(也可能是告诉你反函数的x值,那方法也一样,呵呵。自己想想,不懂再问我
?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;(特例:奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘)
⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。(同增异减)
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x)都是正数
增
增
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