文档介绍：该【高中数学椭圆,知识题型总结 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学椭圆,知识题型总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。陈氏优学
教学课题
椭圆
知识点一:椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
,的周长为,则顶点的轨迹方程是
知识点二:椭圆的标准方程
,椭圆的标准方程:,其中;
,椭圆的标准方程:,其中;
注意:
,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
,都有和;
,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,。
,则=。
,那么。
知识点三:椭圆的简单几何性质
椭圆的的简单几何性质
(1)对称性
对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。
(3)顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0),
A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。
③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长
和短半轴长。
(4)离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。
②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而越小,因
此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2。
椭圆的图像中线段的几何特征(如下图):
(1),,;
(2),,;
(3),,;
知识点四:椭圆与(a>b>0)的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
,
,
轴
长轴长=,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
,
,
注意:椭圆,(a>b>0)的相同点为形状、大小都相同,参数间的关系都有a>b>0和,a2=b2+c2;不同点为两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不相同。
题型一椭圆焦点三角形面积公式的应用
定理y
F1OF2x
P
P
在椭圆(>>0)中,焦点分别为、,点P是椭圆上任意一点,,则.
证明:记,由椭圆的第一定义得
在△中,由余弦定理得:
配方得:
即
由任意三角形的面积公式得:
.
典题妙解
例1若P是椭圆上的一点,、是其焦点,且,求
△的面积.
解法一:在椭圆中,而记
点P在椭圆上,
由椭圆的第一定义得:
在△中,由余弦定理得:
配方,得:
从而
解法二:在椭圆中,,而
解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现!
例2已知P是椭圆上的点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则△的面积为()
.
解:设,则,
故选答案A.
练****br/>,、为左右焦点,P为椭圆上一点,且,△的面积是,准线方程为,求椭圆的标准方程.
参考答案
:设,.
,.
又,即.
或.
当时,,这时椭圆的标准方程为;
当时,,这时椭圆的标准方程为;
但是,此时点P为椭圆短轴的端点时,为最大,,不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为.
题型二中点弦问题点差法
中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线方程?
例3.
弦所在的直线方程。
分析:本例的实质是求出直线的斜率,在所给已知条件下求直线的斜率方法较多,故本例解法较多,可作进一步的研究。
解:法一
法二
点差法
(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程.
命题意图:本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法,设计新颖,基础性强,属★★★★★级题目.
知识依托:待定系数法求曲线方程,如何处理直线与圆锥曲线问题,对称问题.
错解分析:.
技巧与方法:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,解法一,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,,用韦达定理.
解法一:由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得,(x12-x22)+2(y12-y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=-,又(x0,y0)在直线y=x上,y0=x0,于是-=
-1,kAB=-1,设l的方程为y=-x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),
由点(1,1-b)在椭圆上,得1+2(1-b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=-x+1.
解法二:由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x-1),
将l的方程代入C的方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-.
直线l:y=x过AB的中点(),则,解得k=0,或k=-1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身,不能在椭圆C上,所以k=0舍去,从而k=-1,直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同解法一.
题型三弦长公式与焦半径公式
一般弦长公式
弦长公式:若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,(若分别为A、B的纵坐标,则=),若弦AB所在直线方程设为,则=。
2、焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
:平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数
椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率。
注意:
②e的几何意义:椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
:
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
已知点P在椭圆上,为椭圆的两个焦点,求的取值范围
:设P,椭圆的准线方程为,不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点
则
∵,
∴当时,
当
因此,的取值范围是
例2.
时,点P横坐标的取值范围是_______________。(2000年全国高考题)
分析:可先求∠F1PF2=90°时,P点的横坐标。
解:法一
法二
题型四参数方程
问题:如图以原点为圆心,分别以a、b(a>b>0)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作AN⊥Ox,垂足为N,过点B作BN⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。