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(1)数列定义:按一定次序排列的一列数叫做数列;
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作,在数列第一个位置的项叫第1项(或首项),在第二个位置的叫第2项,……,序号为的项叫第项(也叫通项)记作。
(2)通项公式的定义:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
(3)数列{}的前项和与通项的关系:
例:已知数列的前n项和,求数列的通项公式
1、等差数列定义:一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。
2、等差数列的通项公式:;
3、等差中项的概念:
定义:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。其中
,,成等差数列即:()
,若,,则()
. .
4、等差数列的性质:
(1)在等差数列中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;
(2)在等差数列中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列;
(3)在等差数列中,对任意,,,;
(4)在等差数列中,若,,,且,则;
5、等差数列的前和的求和公式:。(是等差数列)
例:,,那么
(A)14(B)21(C)28(D)35
2.(2009湖南卷文)设是等差数列的前n项和,已知,,则等于()
3.(2009全国卷Ⅰ理)设等差数列的前项和为,若,则=
7.(2009全国卷Ⅱ理)设等差数列的前项和为,若则
:
①定义法:是等差数列
②中项法:是等差数列
1.(01天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是()
,但不是等差数列 ,但不是等比数列
,而且也是等比数列
,,则前项的和最大。
,已知
①求出公差的范围,
②指出中哪一个值最大,并说明理由。
,其中,公差。
(1)数列从哪一项开始小于0?
(2)求数列前项和的最大值,并求出对应的值.
,,,求的最大值.
利用求通项.
3.(2005湖北卷)设数列的前n项和为Sn=2n2,求数列的通项公式;
,前和
①求证:数列是等差数列
②求数列的通项公式
5.(2010安徽文)设数列的前n项和,则的值为()
(A)15(B)16(C)49(D)64
等比数列
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示,即::。
在等比数列中,,则
在等比数列中,,则
3.(07重庆文)在等比数列{an}中,a2=8,a1=64,,则公比q为()
(A)2 (B)3 (C)4 (D)8
等比中项:若三个数成等比数列,则称为的等比中项,且为是成等比数列的必要而不充分条件.
例:()
2.(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=()
A. B. C. D.
等比数列的基本性质,
(1)
(2)
(3)为等比数列,则下标成等差数列的对应项成等比数列.
(4)既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
例:,和是方程的两个根,则()
,已知,,则=
,
①求
②若
前项和公式
例:,公比,则其前n项和
,公比,当项数n趋近与无穷大时,其前n项
和
4.(2006年北京卷)设,则等于()
A. . D.
5.(1996全国文,21)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q;
,前2项的和为60,则前3项的和为()
,且
(1)定义法:为等比数列;
(2)中项法:为等比数列;
.
例:1.(2005北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式.
求数列通项公式方法
(1).公式法(定义法)
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例:1已知等差数列满足:,求;
,求数列的通项公式;
=8,(),求数列的通项公式;
,求数列的通项公式;
,求的通项公式
,求数列的通项公式。
,且,,求数列的通项公式
(),求数列的通项公式;
=
(2)累加法
1、累加法适用于:
若,则
两边分别相加得
例:,求数列的通项公式。
,求数列的通项公式。
(3)累乘法
适用于:,
例:,求数列的通项公式。
已知,,求。
(4)待定系数法适用于
例:,,求数列的通项公式。
2.(2006,重庆,文,14)在数列中,若,则该数列的通项_______________
,求数列的通项公式。
解:设
(5)递推公式中既有
分析:通过转化为数列或的递推关系,然后采用相应的方法求解。
,前和
①求证:数列是等差数列
②求数列的通项公式
(8)对无穷递推数列(求和式)
例:1.(2004年全国I第15题,原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。
,.求数列的通项;
数列求和
、等比数列的求和公式求和。
公比含字母时一定要讨论
:如:
例:
求和:
:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项:
例:,若,则等于( )
.
,求前项的和.
综合练习:
,且,