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“会而不对,对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素,成为学生挥之不去的痛,如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目,这些问题也是高考中的热点和重点,做到力避偏、怪、难,进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练****一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在,另一方面通过作针对性练****帮你识破命题者精心设计的陷阱,以达到授人以渔的目的,助你在高考中乘风破浪,实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。
设,,若,求实数a组成的集合的子集有多少个?
【易错点分析】此题由条件易知,由于空集是任何非空集合的子集,但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。
解析:集合A化简得,由知故(Ⅰ)当时,即方程无解,此时a=0符合已知条件(Ⅱ)当时,即方程的解为3或5,代入得或。综上满足条件的a组成的集合为,故其子集共有个。
【知识点归类点拔】(1)在应用条件A∪B=BA∩B=AAB时,要树立起分类讨论的数学思想,将集合A是空集Φ的情况优先进行讨论.
(2)在解答集合问题时,要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质,此外解题过程中要注意集合语言(数学语言)和自然语言之间的转化如:,,其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是:集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆,集合B表示以(3,4)为圆心,以r为半径的圆,当两圆无公共点即两圆相离或内含时,求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。
【练1】已知集合、,若,则实数a的取值范围是。答案:或。
【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知,求的取值范围
【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解,但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。
解析:由于得(x+2)2=1-≤1,∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=
+因此当x=-1时x2+y2有最小值1,当x=-时,x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1,]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制,显然方程表示以(-2,0)为中心的椭圆,则易知-3≤x≤-1,。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。
【练2】若动点(x,y)在曲线上变化,则的最大值为()
(A)(B)(C)(D)
答案:A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
是R上的奇函数,(1)求a的值(2)求的反函数
【易错点分析】求解已知函数的反函数时,易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。
解析:(1)利用(或)求得a=1.
(2)由即,设,则由于故,,而所以
【知识点归类点拔】(1)在求解函数的反函数时,一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明(若反函数的定义域为R可省略)。
(2)应用可省略求反函数的步骤,直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。
【练3】函数的反函数是()
A、B、
C、D、
答案:B
【易错点4】求反函数与反函数值错位
例4、已知函数,函数的图像与的图象关于直线对称,则的解析式为()
A、B、C、D、
【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数,而认为的反函数是则==而错选A。
解析:由得从而再求的反函数得。正确答案:B
【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数,他只是表示中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看:设则,
再将x、y互换即得的反函数为,故的反函数不是,因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
【练4】已知函数y=log2x的反函数是y=f-1(x),则函数y=f-1(1-x)的图象是()
答案:B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件:定义域关于原点对称。
判断函数的奇偶性。
【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域,而按如下步骤求解:从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。
解析:由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称,在定义域下
易证即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件,因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。
(2)函数具有奇偶性,则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。
【练5】判断下列函数的奇偶性:
①②③
答案:①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
函数的反函数为,证明是奇函数且在其定义域上是增函数。
【思维分析】可求的表达式,再证明。若注意到与具有相同的单调性和奇偶性,只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。
解析:,故为奇函数从而为奇函数。又令在和上均为增函数且为增函数,故在和上分别为增函数。故分别在和上分别为增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论:(1)定义域上的单调函数必有反函数。(2)奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。(3)定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。(4)周期函数不存在反函数(5)原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即。
【练6】(1)已知,则如下结论正确的是()
A、是奇函数且为增函数B、是奇函数且为减函数
C、是偶函数且为增函数D、是偶函数且为减函数
答案:A
(2)设是函数的反函数,则使成立的的取值范围为()A、
B、C、D、
答案:A(时,单调增函数,所以.)
【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发,注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。
例7、试判断函数的单调性并给出证明。
【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义中的的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集,要树立定义域优先的意识。
解析:由于即函数为奇函数,因此只需判断函数在上的单调性即可。设,由于故当时,此时函数在上增函数,同理可证函数在上为减函数。又由于函数为奇函数,故函数在为减函数,在为增函数。综上所述:函数在和上分别为增函数,在和上分别为减函数.
【知识归类点拔】(1)函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中,应引起足够重视。
(2)单调性的定义等价于如下形式:在上是增函数,在上是减函数,这表明增减性的几何意义:增(减)函数的图象上任意两点连线的斜率都大于(小于)零。
(3)是一种重要的函数模型,要引起重视并注意应用。但注意本题中不能说在上为增函数,在上为减函数,在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”,
【练7】(1)(1)用单调性的定义判断函数在上的单调性。(2)设在的最小值为,求的解析式。
答案:(1)函数在为增函数在为减函数。(2)
(2)设且为R上的偶函数。(1)求a的值(2)试判断函数在上的单调性并给出证明。
答案:(1)(2)函数在上为增函数(证明略)
【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用,导致错误结论。
例8、已知函数上是减函数,求a的取值范围。
【易错点分析】是在内单调递减的充分不必要条件,在解题过程中易误作是充要条件,如在R上递减,但。
解析:求函数的导数(1)当时,是减函数,则故解得。(2)当时,易知此时函数也在R上是减函数。(3)当时,在R上存在一个区间在其上有,所以当时,函数不是减函数,综上,所求a的取值范围是。
【知识归类点拔】若函数可导,其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明:①与为增函数的关系:能推出为增函数,但反之不一定。如函数在上单调递增,但,∴是为增函数的充分不必要条件。②时,与为增函数的关系:若将的根作为分界点,因为规定,即抠去了分界点,此时为增函数,就一定有。∴当时,是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:为增函数,一定可以推出,但反之不一定,因为,即为或。当函数在某个区间内恒有,则为常数,函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。
因此本题在第一步后再对和进行了讨论,确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多,这需要同学们在学****过程中注意思维的严密性。
【练8】(1)函数是是单调函数的充要条件是()
A、B、C、D、
答案:A
(2)是否存在这样的K值,使函数在上递减,在上递增?
答案:。(提示据题意结合函数的连续性知,但是函数在上递减,在上递增的必要条件,不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。)
【易错点9】应用重要不等式确定最值时,忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。
例9、已知:a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。
错解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8
【易错点分析】上面的解答中,两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab,第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件ab=,显然,这两个条件是不能同时成立的。因此,8不是最小值。
解析:原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2=得:1-2ab≥1-=,且≥16,1+≥17∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时,等号成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是。
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时,要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三相等”,在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。
【练9】甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(km/h)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元。
把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域;
为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
答案为:(1)(2)使全程运输成本最小,当≤c时,行驶速度v=;当>c时,行驶速度v=c。
【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时,没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。
例10、是否存在实数a使函数在上是增函数?若存在求出a的值,若不存在,说明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法,在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。
解析:函数是由和复合而成的,根据复合函数的单调性的判断方法(1)当a>1时,若使
在上是增函数,则在上是增函数且大于零。故有解得a>1。(2)当a<1时若使在上是增函数,则在上是减函数且大于零。不等式组无解。综上所述存在实数a>1使得函数在上是增函数
【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如:一次函数的单调性取决于一次项系数的符号,二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置,指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围(大于1还是小于1),特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想(对数型函数还要注意定义域的限制)。
【练10】(1)(黄岗三月分统考变式题)设,且试求函数的的单调区间。
答案:当,函数在上单调递减在上单调递增当函数在上单调递增在上单调递减。
(2)若函数在区间内单调递增,则的取值范围是()A、B、C、D、
答案:B.(记,则当时,要使得是增函数,则需有恒成立,、D当时,要使是函数,则需有恒成立,)
【易错点11】用换元法解题时,易忽略换元前后的等价性.
例11、已知求的最大值
【易错点分析】此题学生都能通过条件将问题转化为关于的函数,进而利用换元的思想令将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解,
解析:由已知条件有且(结合)得,而==令则原式=根据二次函数配方得:当即时,原式取得最大值。
【知识点归类点拔】“知识”是基础,“方法”是手段,“思想”是深化,提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用,数学素质的综合体现就是“能力”,解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。
【练11】(1)设a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a的最大值和最小值。
答案:f(x)的最小值为-2a-2a-,最大值为
(2)不等式>ax+的解集是(4,b),则a=________,b=_______。
答案:(提示令换元原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为)
【易错点12】已知求时,易忽略n=1的情况.
例12、数列前n项和且。(1)求的值及数列的通项公式。
【易错点分析】此题在应用与的关系时误认为对于任意n值都成立,忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列为等比数列的错误结论。
解析:易求得。由得故得又,故该数列从第二项开始为等比数列故。
【知识点归类点拔】对于数列与之间有如下关系:利用两者之间的关系可以已知求。但注意只有在当适合时两者才可以合并否则要写分段函数的形式。
【练12】已知数列满足则数列的通项为。
答案:(将条件右端视为数列的前n-1项和利用公式法解答即可)
【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集(从1开始)
例13、等差数列的首项,前n项和,当时,。问n为何值时最大?
【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数,可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值,但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。
解析:由题意知=此函数是以n为变量的二次函数,因为,当时,故即此二次函数开口向下,故由得当时取得最大值,但由于,故若为偶数,当时,最大。
当为奇数时,当时最大。
【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集(从1开始)上的函数,因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项,反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由知数列中的点是同一直线上,这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和所对应的数列必为一等比数列的前n项和。
【练13】设是等差数列,是前n项和,且,,则下列结论错误的是()A、B、C、D、和均为的最大值。
答案:C(提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答)
【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。
例14、已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列,求的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件,结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。
解析:不妨设是方程的根,由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项,而方程的两根是等差数列的中间两项,根据等差数列知识易知此等差数列为:故从而=。
【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面,有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列,若,则;对于等比数列,若,则;若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,