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平面的基本性质
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.
根据上面的公理,可得以下推论.
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
空间线面的位置关系
共面平行—没有公共点
(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行,又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点
(直线在平面外)相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点
异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
线面平行与垂直的判定
(1)两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b.
(2)两直线垂直的判定
:若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.
,∥c,a⊥b,则a⊥c
,⊥α,bα,a⊥b.
,∥α,b⊥α,则a⊥b.
,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,则a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(3)直线与平面平行的判定
①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,,bα,a∥b,则a∥α.
③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,lα,则l∥β.
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,⊥β,l⊥β,lα,则l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行,即若Aα,Bα,A、B在α同侧,且A、B到α等距,则AB∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即若α∥β,aα,aβ,a∥α,则α∥β.
⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即若a⊥α,bα,b⊥a,则b∥α.
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内),即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直线与平面垂直的判定
①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,,nα,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α∥β,l⊥β,则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若
α⊥β,a∩β=α,lβ,l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面,则它们的交线也垂直于第三个平面,即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.
(5)两平面平行的判定
①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若a,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③⊥a,β⊥a,则α∥β.
④∥β,β∥γ,则α∥γ.
⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,则这两个平面平行,即若a,bα,c,dβ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α-a-β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若l⊥β,lα,则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个,∥β,α⊥γ,则β⊥γ.
直线在平面内的判定
(1)利用公理1:一直线上不重合的两点在平面内,则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即若α⊥β,A∈α,AB⊥β,则ABα.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线,都在过此点而垂直于已知直线的平面内,即若A∈a,a⊥b,A∈α,b⊥α,则aα.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面内,即若Pα,P∈β,β∥α,P∈a,a∥α,则aβ.
(5)如果一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内,即若a∥α,A∈α,A∈b,b∥a,则bα.
存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的射影,点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时,射影是一条线段;
当图形所在平面不与射影面垂直时,射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中:
(i)射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;
(ii)相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长;
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义:a、b是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围:0°<θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角θ;
②解含有θ的三角形,求出角θ的大小.
直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种:
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面,则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行,或在平面内,则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形,求出其大小.
二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.
(2),这两个平面叫做二面角的面,即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量,通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°<θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
②二面角的平面角具有下列性质:
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面PCD⊥α,平面PCD⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ,再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积,S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积,α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
(2)求点面距离常用的方法:
1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段;
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2),则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=S·h,.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求.
直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离,然后通过解三角形计算之.
②将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之.
③作辅助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离.
空间几何体的三视图和直观图
1三视图:
正视图:从前往后侧视图:从左往右俯视图:从上往下
2画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等
3直观图:斜二测画法(角度等于45或者135)
4斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
空间几何体的表面积与体积
(一)空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和
2圆柱的表面积3圆锥的表面积:
4圆台的表面积5球的表面积
6扇形的面积公式(其中表示弧长,表示半径)
注:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长
(二)空间几何体的体积
1柱体的体积2锥体的体积
3台体的体积4球体的体积