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  第一章解三角形
  1、正弦定理:
  在DABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,R为DABC的外接圆的半径,则有:abc===
  2、正弦定理的变形公式:
  ①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;abc,sinB=,sinC=;2R2R2R
  ③a:b:c=sinA:sinB:sinC;a+b+cabc④.===sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC②sinA=注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。
  2、已知两角和一边,求其余的量。
  ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC中,已知a、b、A(A为锐角)求B。具体的做法是:数形结合思想画出图:法一:把a扰着C点旋转,看所得轨迹以AD
  当无交点则B无解、
  当有一个交点则B有一解、
  当有两个交点则B有两个解。法二:是算出CD=bsinA,看a的情况:当a<bsinA,则B无解
  当bsinA<a≤b,则B有两解当a=bsinA或a>b时,B有一解
  注:当A为钝角或是直角时以此类推既可。
  3、三角形面积公式:
  111SDABC=bcsinA=absinC=
  4、余弦定理:
  在DABC中,有a=b+c-2bccosA,b=a+c-2accosB,222222
  c2=a2+b2-2abcosC.
  5、余弦定理的推论:
  b2+c2-a2
  cosA=,2bc
  a2+c2-b2
  cosB=,2ac
  a2+b2-c2
  cosC=.2ab
  (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角)1
  
  6、如何判断三角形的形状:
  设a、b、c是DABC的角A、B、C的对边,则:
  ①若a+b=c,则C=90;
  ②若a+b>c,则C<90;
  ③若a+b<c,则C>90.
  7、正余弦定理的综合应用:
  如图所示:隔河看两目标A、B,
  C、D两点,
  并测得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,
  O∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内),求两目标A、B
  附:三角形的五个“心”;
  重心:三角形三条中线交点.
  外心:三角形三边垂直平分线相交于一点.
  内心:三角形三内角的平分线相交于一点.
  垂心:三角形三边上的高相交于一点.
  
  练****题
  一、选择题
  1、在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于(B)
  +-1)C.+
  2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为
  
  3、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则ÐA=(C)
  A90B60C120D1500000
  4、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是(D)
  =10,A=45°,B=70°=60,c=48,B=100°
  =7,b=5,A=80°=14,b=16,A=45°
  5、已知△ABC中,a∶b∶c=1∶∶2,则A∶B∶C等于(A)
  ∶2∶3
  :3:∶3∶:1:2
  6、若△ABC的周长等于20,面积是10,A=60°,则BC边的长是(C)
  
  二、填空题(每题5分,共25分)
  2
  
  7、在DABC中,已知sinA:sinB:sinC=6:5:4,则cosA=___________
  a+b+c8、在△ABC中,A=60°,b=1,面积为,则=sinA+sinB+sinC
  9、在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=7,那么2
  7°,且C=60,又△ABC的
  210、在△ABC中,已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c,边c=
  a+b=(2小题,共40分)
  13、在DABC中,sin(C-A)=1,sinB=1.(I)求sinA的值;(II)设
  ,
  
  知识点巩固练****一)
  一、选择题
  △ABC中,若C=90,a=6,B=30,则c-b等于()
  .-.-2
  △ABC的内角,则下列函数中一定取正值的是()
  
  △ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,
  则△ABC的形状是()
  
  ,这条高与底边的夹角为60,
  则底边长为()
  △ABC中,若b=2asinB,则A等于()
  
  ,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()
  300000000
  
  
  二、填空题
  △ABC中,C=90,则sinAsinB的最大值是_______________。
  △ABC中,若a=b+bc+c,则A=_________。
  △ABC中,若b=2,B=30,C=135,则a=_________。
  △ABC中,若sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则C=_____________。
  三、解答题
  △ABC中,若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么?
  
  △ABC中,求证:0022200000abcosBcosA-=c(-)baba
  
  △ABC中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC。
  
  4
  
  知识点巩固练****二)
  一、选择题
  △ABC中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c等于()
  :2::2:1C
  .2D
  .2
  △ABC中,若角B为钝角,则sinB-sinA的值()
  
  △ABC中,若A=2B,则a等于()
  
  △ABC中,若lgsinA-lgcosB-lgsinC=lg2,则△ABC的形状是()
  
  △ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=()
  
  △ABC中,若a=7,b=8,cosC=000013,则最大角的余弦是()14
  1111A.-B.-C.-D.-5678
  0二、△ABC
  中,ÐA=60,b=1,SDABC=则a+b+c=_______。sinA+sinB+sinC
  ,B是锐角三角形的两内角,则tanAtanB_____1(填>或<)。
  △ABC中,若sinA=2cosBcosC,则tanB+tanC=_________。
  △ABC中,若a=9,b=10,c=12,则△ABC的形状是_________。
  △ABC中,若a=
  三、解答题3,b=2,c=6+2,则A=_________。2
  △ABC
  中,A=120,c>b,a=SVABC=b,c。
  
  50
  
  △ABC中,求证:tanA×tanB×tanC>1。
  
  △ABC中,求证:sinA+sinB+sinC=4cos
  
  △ABC中,若A+B=120,则求证:
  
  △ABC中,若acos
  
  62ABCcoscos。2220ab+=1。b+ca+cCA3b,则求证:a+c=2b+ccos2=222
  
  知识点巩固练****三)
  一、选择题
  △ABC的内角,则sinA+cosA的取值范围是()
  A.(2,2)B.(-2,2)C.(-1,2]D.[-2,2]
  a+b等于()c
  A+BA-BA+BA-△ABC中,若C=90,则三边的比0
  △ABC中,若a=7,b=3,c=8,则其面积等于()
  
  △ABC中,ÐC=90,0<A<45,则下列各式中正确的是()00
  >>>>cosB
  △ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),则ÐA=()
  
  tanAa2
  =△ABC中,若,则△ABC的形状是()tanBb2
  
  二、填空题
  △ABC中,若sinA>sinB,则A一定大于B,对吗?填_________(对或错)