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一、等差数列与等比数列
等差数列
等比数列
定义
-=d
=q(q0)
通项公式
=+(n-1)d
=(q0)
递推公式
=+d,=+(n-m)d
=q=
中项
A=推广:A=(n,kN+;n>k>0)
。推广:G=(n,kN+;n>k>0)。任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个
前n项和
=(+)
=n+d
=
=
性质
(1)若,则
(2)数列仍为等差数列,仍为等差数列,公差为;
(3)若三个成等差数列,可设为
(4)若是等差数列,且前项和分别为,则
(5)为等差数列(为常数,是关于的常数项为0的二次函数)
(6)d=(mn)
(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列
(1)若,则
(2)仍为等比数列,公比为
二、求数列通项公式的方法
1、通项公式法:等差数列、等比数列
2、涉及前n项和Sn求通项公式,利用an与Sn的基本关系式来求。即
例1、在数列{}中,表示其前n项和,且,求通项.
例2、在数列{}中,表示其前n项和,且,求通项
已知递推公式,求通项公式。
叠加法:递推关系式形如型
例3、已知数列{}中,,,求通项
练****1、在数列{}中,,,求通项
(2)叠乘法:递推关系式形如型
例4、在数列{}中,,,求通项
练****2、在数列{}中,,,求通项
(3)构造等比数列:递推关系式形如(A,B均为常数,A≠1,B≠0)
例5、已知数列{}满足,,求通项
练****3、已知数列{}满足,,求通项
倒数法
例6、在数列{an}中,已知,,求数列的通项
四、求数列的前n项和的方法
1、利用常用求和公式求和:
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
错位相减法:主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中、分别是等差数列和等比数列
.[例1]求数列前n项的和.
[例2]求和:
3、倒序相加法:数列{}的第m项与倒数第m项的和相等。即:
[例3]求的值
[例4]函数对任都有,求:
4、分组求和法:主要用于求数列{anbn}的前n项和,其中、分别是等差数列和等比数列
[例5]求数列:的前n项和
[例6]求和:
5、裂项相消法:通项分解
(1)(2)
(3)(4)
[例7]在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
[例8]已知正项数列{an}满足且
(Ⅰ)求数列{an}的前n项的和
(Ⅱ)令,求数列{bn}的前n项的和
五、在等差数列{}中,有关Sn的最值问题
:(1)当>0,d<0时,满足的项数m使得取最大值.
(2)当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值。