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定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中,若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。
a//b的重要条件是xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是a•b=0。
a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x,y),b=(x',y')。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=
AB-AC=“共同起点,指向被减”
a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当&lambda;<0时,&lambda;a与a反方向;
当&lambda;=0时,&lambda;a=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数&lambda;,都有&lambda;a=0。
注:按定义知,如果&lambda;a=0,那么&lambda;=0或a=0。
实数&lambda;叫做向量a的系数,乘数向量&lambda;a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣&lambda;∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(&lambda;>0)或反方向(&lambda;<0)上伸长为原来的∣&lambda;∣倍;
当∣&lambda;∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(&lambda;>0)或反方向(&lambda;<0)上缩短为原来的∣&lambda;∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(&lambda;a)&bull;b=&lambda;(a&bull;b)=(a&bull;&lambda;b)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(&lambda;+&mu;)a=&lambda;a+&mu;a.
数对于向量的分配律(第二分配律):&lambda;(a+b)=&lambda;a+&lambda;b.
数乘向量的消去律:①如果实数&lambda;&ne;0且&lambda;a=&lambda;b,那么a=b。②如果a&ne;0且&lambda;a=&mu;a,那么&lambda;=&mu;。
3、向量的的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0&le;〈a,b〉&le;&pi;
定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a&bull;b。若a、b不共线,则a&bull;b=|a|&bull;|b|&bull;cos〈a,b〉;若a、b共线,则a&bull;b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a&bull;b=x&bull;x&#39;+y&bull;y&#39;。
向量的数量积的运算律
a&bull;b=b&bull;a(交换律);
(&lambda;a)&bull;b=&lambda;(a&bull;b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)&bull;c=a&bull;c+b&bull;c(分配律);
向量的数量积的性质
a&bull;a=|a|的平方。
a&perp;b〈=〉a&bull;b=0。
|a&bull;b|&le;|a|&bull;|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a&bull;b)&bull;c&ne;a&bull;(b&bull;c);例如:(a&bull;b)^2&ne;a^2&bull;b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由a&bull;b=a&bull;c(a&ne;0),推不出b=c。
3、|a&bull;b|&ne;|a|&bull;|b|
4、由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a&times;b。若a、b不共线,则a&times;b的模是:∣a&times;b∣=|a|&bull;|b|&bull;sin〈a,b〉;a&times;b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a&times;b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a&times;b=0。
向量的向量积性质:
∣a&times;b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a&times;a=0。
a‖b〈=〉a&times;b=0。
向量的向量积运算律
a&times;b=-b&times;a;
(&lambda;a)&times;b=&lambda;(a&times;b)=a&times;(&lambda;b);
(a+b)&times;c=a&times;c+b&times;c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣&le;∣a+b∣&le;∣a∣+∣b∣;
①当且仅当a、b反向时,左边取等号;
②当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣&le;∣a-b∣&le;∣a∣+∣b∣。
①当且仅当a、b同向时,左边取等号;
②当且仅当a、b反向时,右边取等号。