文档介绍：该【高中数学知识点归纳 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【20】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学知识点归纳 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。专题一集合与简易逻辑
集合
:确定性、互异性、无序性。
:列举法、图示法、描述法
;是任何非空集合的真子集。
:有限集、无限集
、自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集可分别有符号表示为:N*、N、Z、Q、R、C
,即属于与不属于,分别表示为;集合与集合的关系为包含与被包含。
,则A是B的子集,表示为;满足且存在,则A是B的真子集,表示为AB。
,表示为A=B;用子集符号定义两集合相等,指且
,表示为;两集合的并集定义为,表示为;集合A在全集I中的补集指由属于I但不属于A的元素构成的集合。
:A∩B=B∩A,A∪B=B∪A
集合结合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
: Cu(A∩B)=CuA∪CuB,Cu(A∪B)=CuA∩CuB
集合吸收律:A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A
集合求补律:A∪CuA=S,A∩CuA=Φ
11、集合A的元素有n,则它的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别为、、、。
(二)、简易逻辑
;或、且、非这些词叫逻辑联结词;不含逻辑联结词的命题叫简单命题;由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题,复合命题一般有三种形式:p或q、p且q、非p。
2.
p
q
非p
非q
p且q
p或q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
真
假
假
真
假
假
真
真
假
假
:若p则q;
逆命题:若q则p;
否命题:若¬p则¬q;
命题的否定:若p则¬q;
逆否命题:若¬q则¬p。(注意命题的否定和否命题)
4、命题的逆命题指交换命题的题设与结论;否命题指既否定命题的题设,又否定其结论。命题的的否定、命题的非与否命题之间的关系是命题的否定与命题的非指仅否定命题的结论,而否命题指既否定条件又否定结论。
逆否命题指交换题设与结论同时对题设与结论否定。
四种命题中,原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否,原命题与逆命题、否命题与逆否命题互逆,
原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否。(互为逆否命题的两个命题是等价的)
5、对命题P与Q,
(1)满足,则P叫Q的充分条件;(2)满足P,则P叫Q的充分不必要条件;
(3)满足,则P叫Q的必要条件;(4)满足Q,则P叫Q的必要不充分条件;
(5)满足,则P叫Q的充要条件;(6)满足,则P叫Q的既不充分也不必要条件。
专题二函数、极限与导函数
一、函数的基本概念
映射的概念:一般的,设A、B是两个集合,如果按照对应法则f,对于集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与它对应,那么这样的对应叫集合A到B的映射。
:A与B为非空数集,按照对应法则f,如果A中的任一元素在B中都有唯一确定的元素与之对应,
那么A到B的映射f就叫A到B的函数。原象集合A叫做函数的定义域,象的集合C叫做值域。
、对应法则(解析式)、值域。函数的表示方法主要有三种,解析法、图象法、列表法。
。
、B的元素个数分别为m、n,则A到B的映射个数为nm,B到A的映射个数为mn。A到A的一一映射个数为m!。
:指满足使解析式有意义的自变量的取值范围。同时,在实际问题和几何问题中还应根据自变量的实际(几何意义)来确定其定义域。函数的值域指函数值的集合。
求函数解析式的常见方法的适用范围及解题步骤:
(1)换元法:适用于已知复合函数解析式类型,先令g(x)=t,反求出x,再代入原解析式中即求出f(t)
(2)待定系数法:适用于已知函数类型的函数,先设解析式,代入已知条件中求出各待定系数
(3)对称法:适用于例如等型。
:
(1)分式的分母及零次、负指数幂的底数非0(2)偶次方根的被开方数非负
(3)对数的真数大于0底数大于0且不等于1(4)正切函数y=tanx:
(5)复合函数的定义域:若f(x)的定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只需g(x)的值域为D时对应的x的取值范围;若已知f[g(x)]的定义域,求函数f(x)的定义域,只需求g(x)在该定义域的值域。
(6)几何与实际问题中,自变量x有几何(实际)意义
(1)观察法:适用于解析式中自变量x只出现了一次的函数,如
(2)图象法:适用于基本的初等函数及能利用图象变换得出其图象的函数,如
(3)换元法:适用于,分代数换元法和三角换元法如
(4)均值不等式法:适用于能利用均值不等式的函数。如
(5)导数法:适用于易于求出其导函数再研究其单调性从而画出简图求得最值的函数。如
(6)判别式法适用于
(7)单调性法:适用于能判断单调性的函数
(8)函数的有界性:适用于能根据sinx、cosx等的有界性研究最值的函数,如
(9)数形结合法(几何法)适用于能利用函数解析式的几何意义的函数,如
:对定义域的某个子集内的任意两个数x1,x2,若都有x1<x2且f(x1)<f(x2),则称函数在此子集内是单调递增的;若x1<x2且f(x1)>f(x2),则称函数在此子集内是单调递减的。
判定函数单调性的常用方法:
(1)定义法:利用单调性的定义判断
(2)两个增(减)函数的和为增(减);一个增与一个减的差为增。
(3)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
(4)互为反函数的两个函数的单调性相同(5)复合函数的单调性法则:同增异减
(6)求导:先求函数的导函数,再求其单调区间从而得解
(7)耐克函数的单调性:的单调区间:与递增,上递减
(8)分段函数在定义域的各区间的并集上严格单调的条件:左段的最小值不小于右段的最大值(递减)或左段的最大值不大于右段的最小值(递增)。
三、函数的奇偶性:
:两个条件(1)定义域关于原点对称(2)奇函数:f(x)=-f(-x);偶函数:f(x)=f(-x)
定义式的变式(1)f(-x)f(x)=0(2)
。奇函数的定义域内若含0,则f(0)=0。
、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称。
(除)结果为偶(奇/偶);奇偶性相异的两函数相乘(除)结果为奇(奇/偶);
:奇(偶)函数在关于原点对称的区间内单调性相同(反)
=0(x=0)的偶函数无有/无)反函数;若奇函数有反函数,则其反函数是奇(奇/偶)函数。
=f(x)关于点(a,0)(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=2|a|。
若奇函数y=f(x)关于直线x=a(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=4|a|。
若偶函数y=f(x)关于点(a,0)(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=4|a|
若偶函数y=f(x)关于直线x=a(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=2|a|。
四、反函数
1、定义:由y=f(x)反求出x=(y),再交换x、y,并求出原函数中y的范围即为反函数定义域。
2、反函数与原函数的定义域与值域互换,图象关于y=x对称。
3、只有从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数。严格单调函数必有反函数;奇函数的反函数也必是奇函数。
4、求函数的反函数的一般步骤:
(1)由y=f(x)的解析式求出x=(y)(2)将x,y对换,得出反函数的一般表达式;
(3)确定反函数的定义域即原函数的值域。
5、若点(a,b)在原函数图象上,则(b,a)必在其反函数上,即
7、周期函数不(是否)存在反函数。
1、定义式:f(x+T)=f(x)
2、若f(x+m)=f(x-m),则f(x)的周期为2m3、若f(x)=—f(x+m),则f(x)的周期为2m
4、若f(x)=则f(x)的周期为2m
5、若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)的周期为2|b-a|
6、若f(x)的图象关于点(a,0)及直线x=b对称,则f(x)的周期为4|b-a
7、若f(x)的图象关于直线x=a及x=b对称,则f(x)的周期为2|b-a
8、若奇函数y=f(x)关于点(a,0)(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=2|a|
9、若奇函数y=f(x)关于直线x=a(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=4|a|
10、若偶函数y=f(x)关于点(a,0)(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=4|a|
11、若偶函数y=f(x)关于直线(a≠0)对称,则y=f(x)为周期函数,T=2|a|
12、下列函数是否为周期函数,若是,求出最小正周期,若不是,分析原因。
(1)y=|x|不是(2)y=|sinAx|(A>0)是(3)y=sinA|x|(A>0)不是(4)y=|sinx|+|cosx|是,
六、对称性
(1)函数关于对称
(2)函数关于点对称
(3)与关于X轴对称。
(4)与关于Y轴对称。
(5)与关于直线对称。
(6)与关于直线对称。
(7)关于点(a,b)对称。
(8)与关于直线对称。
(9)函数的轴对称:
定理1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论1:如果函数满足,则函数的图象关于直线对称.
推论2:如果函数满足,则函数的图象关于直线(y轴),.
函数的点对称:
定理2:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论3:如果函数满足,则函数的图象关于点对称.
推论4:如果函数满足,则函数的图象关于原点对称
七、函数图象
1、描点法作图三个步骤:列表、描点、连线
2、三种图象变换:
(1)平移变换:
点P(x,y)按向量=(m,n)平移后的点的坐标为P`(x+m,y+n)。
函数y=f(x)按向量=(m,n)平移后的函数为y-n=f(x-m)。
曲线f(x,y)=0按向量=(m,n)平移后曲线方程为f(x-m,y-n)=0。
(2)对称变换
y=f(x)与y=f(—x)关于y轴对称;
y=f(x)与y=—f(x)关于x轴对称;
y=f(x)与y=—f(-x)关于原点对称;
y=f(x)与关于y=x对称;
y=f(|x|)可由y=f(x):先做y=f(x)在x轴右边的图象,再把它对称到左边(右边保留)得来;
y=f(x)可由y=|f(x)|:先做y=f(x的图象,再将其x轴下方部分翻折到上方(下方不要)得来;
(3)伸缩变换
y=Af(x)(A>0)的图象可由y=f(x)横坐标标不变,纵坐标变为原来的A倍得来;
y=f(Ax)(A>0)的图象可由y=f(x)横坐标变为原来的倍得来;
八、抽象函数
特征式:指能反映抽象函数基本性质的代数式,例如f(xy)=f(x)+f(y)
求特殊点的函数值的方法:在特征式中代入特殊值如0,1,-1等
解抽象不等式的基本思路:先判断抽象函数的单调性,再将符号f化去,从而解一般不等式
判定单调性的一般方法:先设x1<x2,得f(x1-x2)的范围,再由x1=(x1-x2)+x2代入特征式求。
判定奇偶性的一般方法:先求f(0),再寻找f(-x)与f(x)的关系。
九、二次函数
一元二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式,即y=ax2+bx+c(2)两根式,即y=a(x-x1)(x-x2)
(3)顶点式,即y=a(x-h)2+k
2、若y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(a+x)=f(a-x),则函数的对称轴为x=a;
解决二次函数的基本思路(六个字)配方、画图、观察,观察指“四看”,即(1)看开口方向(2)看判别式的正负(3)看对称轴的位置(4)看特殊点(区间的端点)的函数值的正负
3、对二次函数的讨论,一般可先考虑图象的开口方向(即二次项系数a的正负),再研究其图象与X轴的交点个数(即判别式Δ的正负),最后考虑对称轴的位置。
十、指对数函数
对数运算公式:
(1)对数定义式(2)对数恒等式(3)积的对数
(4)商的对数(5)幂的对数
(6)换底公式(7)底数的对数(8)1的对数
2、指对数函数性质比较
指数函数对数函数
(1)定义域R
(2)值域R
(3)过定点(0,1)(1,0)
(4)单调性当a>1时,递增,当0<a<1时,递减当a>1时,递增,当0<a<1时,递减
(5)图象当a>1时
当0<a<1时
3、常用对数指以10为底的对数;自然对数指以e为底的对数,……
十一、极限
1、定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列的通项无限地趋近于一个常数a,我们就说数列的极限为a,表示为
数列极限的运算法则:
(1)和差的极限等于极限的和差,(2)积、商的极限等于极限的积、商
(3)常数列的极限为本身=当|q|<1时为0;当|q|>1时不存在;当q=1时为1;当q=-1时不存在。
十二、求导公式与法则
十三、导函数的运用
运用导数研究函数的最值的步骤:
(1)求函数的导函数,设y`>0求出单调增区间,其补集为减区间
(2)求函数的极值及端点值(先求极值点,然后把极值点带入原方程)
(3)比较极值及端点值的大小,最大的为函数最大值,最小的为函数最小值。
专题三数列
一、基本概念
1、按一定规律排列的的一列数叫做数列;数列还可以看作一个定义域为正整数的定义域。
2、已知,则其通项求法:数列中,若最大,,则。
3、如果一个数列的后项减去前项的差为某一常数d,则这个数列叫做等差数列;数列为等差数列的一个充要条件是其前n项和为n的无常数项的二次式。若为等差数列,且其项数为2n,则S偶—S奇=nd,S奇:S偶=;若为等差数列,且其项数为2n-1,则S偶=S奇=,S奇—S偶=,S奇:S偶=;两个等差数列的前n项和Sn,Tn之间的关系为
=.
4、如果一个数列的后项除以前项的商为某一个常数q,那么这个数列叫做等比数列
5、常见数列的前n项和为:
(1)1+2+3+…+n=;(2)2+4+6+…+2n=(3)1+3+5+…+(2n-1)=
(4)12+22+32+…+n2=(5)13+23+33+…+n3=
求数列的通项公式常见的有以下几种类型
(1)观察法:由数列的前几项,观察规律,从而总结(猜想)出通项公式的方法(解答题中还要用数学归纳法证明)。
(2)已知前n项和,求通项的方法是:利用公式
(3)通过递推式求通项公式:
①型,累加法,例如已知数列中,,且,求通项。
②型,累乘法,例如已知数列中,,且,求通项。
③型,构造法,可等价为,
例如已知数列中,,且,求通项。
④型,两边同除以,转化为,构造成类型①。
⑤型,一定可以转化成,构造成等比数列。
⑥型:到倒数后构造新数列
⑦型:用不动点法
定理1:若有两个相异不动点p,q,即方程(cx2+(d-a)x+b=0)有两相异根p,q,则数列是以为首项,为公比的等比数列。
⑧
求数列的前n项和的常见方法:
(1)教材中推导等差数列与等比数列的前n项和的方法分别是倒序法、错位相减法;得出等差数列的前n项和公式
,等比数列的前n项和公式为=
(2)错位相减法:适用于通项为等差乘以等比类型,例如:
(3)裂项抵消法:常见的拆项公式有,.
4、所有的数列证明题,都与正整数n有关,因此都可以用数学归纳法进行证明。
二、等差数列与等比数列性质对比
等差数列等比数列
定义式
等差(比)中项
通项公式
求和公式
若m+n=p+q则
三、当等比数列的公比q满足<1时,=S=。一般地,如果无穷数列的前n项和的极限存在,就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和),用S表示,即S=。
四、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤有:
(1)证明对n的初始值结论成立
(2)假设当n=k时结论成立,证明当n=k+1时结论也成立
(3)综上所证,得结论。
五、数列极限(C为常数)
C0当|a|<1时为0;当|a|>1时不存在;当a=1时为1;当a=-1时不存在。
(若f(n),g(n)分别是关于n的一元多项式,最高次数分别是p,q,最高次项的系数分别是ap,aq且g(n)0)
专题四三角函数与平面向量
以角的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角的终边上任取一个异于原点的点,点P到原点的距离记为,sin=,cos=,tan=,cot=,sec=,csc=。角可以看成是由绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形,旋转开始时的射线叫做角的始边;360度=2弧度,1弧度=度。单位圆与x轴的正半轴交于点A,角的终边与单位圆交于点P,过P作x轴的垂线,垂足为M,单位圆在A点的切线与角的终边或其反向延长线相交于点T,则把有向线段OM、MP、AT叫做角的余弦线、正弦线、正切线。如图:
2、同角三角函数的关系中,平方关系是:
倒数关系是:;相除关系是:。
3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如:,=,
:
(1)画出一个周期内的正弦、余弦、正切函数的图象,对应写出它们的基本性质:
Y=sinxy=cosxy=tanx
定义域:RR
值域:[-1,1][-1,1]R
奇偶性:奇偶奇
对称轴x=x=无对称轴
对称中心与x轴的交点与x轴的交点
周期:22
单调性:在上递增在上递增在上递增
在上递减在上递减无减区间
5、函数的最大值是A+B,最小值是-A+B,周期是,频率是w,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线=,凡是该图象与直线y=0的交点都是该图象的对称中心。
6、
7、二倍角公式是:
sin2=2cos2=tg2=。
半角公式:,,==.
8、三倍角公式是:sin3=记住推导方法,不用死记公式cos3=
10、升幂公式是:
11、降幂公式是:sin2=cos2=tg2=。
12、万能公式:sin=cos=tg=
辅助角公式:且角所在的象限为点(a,b)所在象限
13、
0