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重点:掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法
难点:对等差数列的综合考察
一知识梳理
:(d为常数)();
:
,首项:,公差:d,末项:
推广:.从而;
(1)如果,,成等差数列,:或
(2)等差中项:数列是等差数列
:
(其中A、B是常数)(当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
(1)定义法:若或(常数)是等差数列.
(2)等差中项:数列是等差数列.
(3)数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中A、B是常数)。
定义法:若或(常数)是等差数列.
:(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:、、、及,其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)通常把题中条件转化成只含和的等式!
:
(1)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(2)当时,则有,特别地,当时,则有.
(3)若{}是等差数列,则,…也成等差数列(公差为md)
图示:
(4)若等差数列、的前和分别为、,且,
则.
(5)若、为等差数列,则为等差数列
(6)求的最值
法一:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。若Sp=Sq则其对称轴为
法二:①“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当由可得达到最大值时的值.
②“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即当由可得达到最小值时的值.
或求中正负分界项
(7)设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项的和,是前n项的和,则:
,,其中n为总项数的一半,d为公差;
2、在等差数列中,若共有奇数项项,则
注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:即运用条件转化为关于和的方程;
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.
【类型1】求等差数列通项
【例1】.等差数列中,,求.
【变式1】四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.
【例2】等差数列中,,,求通项公式.
【变式1】等差数列中,则的值是 .
【变式2】已知等差数列{}中.,则 .
【变式3】等差数列中,,,则 .
【变式4】若等差数列的前5项和,且,则 .
【例3】已知数列中,=1,,则数列的通项公式为______
【变式1】已知数列{}中,=2,=3,其前n项和满足(n≥2,n∈N),则数列{}的通项公式为()
A.=nB.=C.=n-lD.=n+l
【例4】在数列和数列中,为数列的前n项和,且满足,数列的前n项和满足,且
(1)求数列的通项公式
(2)求数列的通项公式
【例5】数列中,,求数列的通项公式;
【类型2】求等差数列前n项和
【例1已知为等差数列,为其前项和,,若则的值为_______
【变式1】如果是一个等差数列的前n项和,其中a,b,c为常数,则c的值为.
【例2】(10年全国文6)等差数列中,,那么的前7项和 .
【变式1】已知数列、都是公差为1的等差数列,其首项分别为、,且,.设(),则数列的前10项和等于( )
【例3】通项公式为,则_______ .
【变式1】通项公式为则 .
通项公式为,若其前n项和为10,则项数n为 .
【例4】等差数列中,,前n项和记为,求取最小值时n的值.
【变式】差数列中,,则 时有最大值;
【类型3】等差数列性质的应用
【例1】(1)等差数列中,求的值.
(2)等差数列中,,求的值.
【例2】(辽宁理科14)等差数列中,的前n项和为,如果,则
.
【变式1】(辽宁文)等差数列中,的前n项和为,,则 .
【变式2】已知等差数列中,则 .
【变式3】已知数列和的前n项和分别为,且求的值.
【例3】等差数列的前n项和记为,若为一个确定的常数,则下列
各数中一定是常数的是()
.
【变式1】等差数列中,则()
-
【变式2】等差数列中,已知前15项的和,则等于()
【变式3】在等差数列中,若则.
【类型4】证明数列是等差数列
【例1】知数列的前n项和为,求通项公式并判断是否为等差数列