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第一节基本概念
1、概念网络图
2、重要公式和结论
(1)联合分布
离散型
如果二维随机向量(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。
设=(X,Y)的所有可能取值为,且事件{=}的概率为pij,,称
为=(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示:
Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…
xi
pi1
…
…
这里pij具有下面两个性质:
(1)pij≥0(i,j=1,2,…);
(2)
连续型
对于二维随机向量,如果存在非负函数,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称为连续型随机向量;并称f(x,y)为=(X,Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
f(x,y)≥0;
(2)
(2)二维随机变量的本质
(3)联合分布函数
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质:
(1)
(2)F(x,y)分别对x和y是非减的,即
当x2>x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);当y2>y1时,有F(x,y2)≥F(x,y1);
(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的,即
(4)
(5)对于
.
(4)离散型与连续型的关系
(5)边缘分布
离散型
X的边缘分布为
;
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为
Y的边缘分布密度为
(6)条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为
在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为
连续型
在已知Y=y的条件下,X的条件分布密度为
;
在已知X=x的条件下,Y的条件分布密度为
(7)独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型
有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断,充要条件:
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布
=0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立,h,g为连续函数,则:
h(X1,X2,…Xm)和g(Xm+1,…Xn)相互独立。
特例:若X与Y独立,则:h(X)和g(Y)独立。
例如:若X与Y独立,则:3X+1和5Y-2独立。
(8)二维均匀分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
其中SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从D上的均匀分布,记为(X,Y)~U(D)。
、。
y
1
D1
O1 x
y
D2
1
1
O 2x
y
D3
d
c
Oabx
(9)二维正态分布
设随机向量(X,Y)的分布密度函数为
其中是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,
记为(X,Y)~N(
由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,
即X~N(
但是若X~N(,(X,Y)未必是二维正态分布。
(10)函数分布
Z=X+Y
根据定义计算:
对于连续型,fZ(z)=
两个独立的正态分布的和仍为正态分布()。
n个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。
,
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若相互独立,其分布函数分别为,则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为:
分布
设n个随机变量相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和
的分布密度为
我们称随机变量W服从自由度为n的分布,记为W~,其中
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性:设
则
t分布
设X,Y是两个相互独立的随机变量,且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为t分布,记为T~t(n)。
F分布
设,且X与Y独立,可以证明的概率密度函数为
我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为n2的F分布,记为F~f(n1,n2).
(X,Y)共有六个取正概率的点,它们是:(1,-1),(2,-1),(2,0),2,2),(3,1),(3,2),并且(X,Y)取得它们的概率相同,则(X,Y)的联合分布及边缘分布为
Y
X
-1
0
1
2
p1·
1
0
0
0
2
0
3
0
0
p·j
1
:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中
求X的边缘密度fX(x)
:设随机变量X以概率1取值0,而Y是任意的随机变量,证明X与Y相互独立。
:,f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3,不独立。
:f(x,y)=
:设X和Y是两个相互独立的随机变量,且X~U(0,1),Y~e(1),求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。
:设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为
而Y的概率密度为e(1),求随机变量U=的概率密度g(u)。
第二节重点考核点
二维随机变量联合分布函数、随机变量的独立性、简单函数的分布
第三节常见题型
1、二维随机变量联合分布函数
:如下四个二元函数,哪个不能作为二维随机变量(X,Y)的分布函数?
(A)
(B)
(C)
(D) [ ]
:设X与Y是两个相互独立的随机变量,它们均匀地分布在(0,)内,试求方程t2+Xt+Y=0有实根的概率。
:将一枚均匀硬币连掷三次,以X表示三次试验中出现正面的次数,Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。
:设随机变量,且,求
:设某班车起点站上车人数X服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),并且他们在中途下车与否是相互独立的,用Y表示在中途下车的人数,求:二维随机向量(X,Y)的概率分布。
:设平面区域D是由与直线y=0,x=1,x=e2所围成(),二维随机向量ξ=(X,Y)在D上服从均匀分布,求(X,Y)关于X的边缘分布密度在x=2处的值。
:设随机变量在区间上服从均匀分布,在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布,求
(Ⅰ)随机变量和的联合概率密度;
(Ⅱ)的概率密度;
(Ⅲ)概率.
2、随机变量的独立性
:设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,另一随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值,试求(X,Y)的分布律,X,Y的边缘分布律,并判断独立性。
:设随机变量X与Y独立,并且P(X=1)=P(Y=1)=p,P(X=0)=P(Y=0)=1-p=q,0<p<1。定义随机变量Z为
问当p取何值时,X与Z相互独立?
:设
求:(1)A,B,C的值;
(2)f(x,y);
(3)f1(x),f2(y)
(4)判断独立性。
:设(X,Y)的密度函数为