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第一单元位置
1、用数对表示位置,应该先写列数,再写行数,前后顺序不能颠倒,要用小括号把列数和行数括起来,并在列数和行数之间写一个逗号,把两个数隔开。例如:数对(5,3)表示第5列第3行,读作:五三。
2、竖排叫列(从左往右看),横排叫行(实际生活中是从前往后看)(在图上是从下往上看)。
3、图形左右平移,列数变化,行数不变;图形上下平移,行数变化,列数不变。
第二单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义:
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。就是求几个相同加数的和的简便运算。
例如:×5表示求5个的和是多少?或表示:的5倍是多少?
2、一个数乘分数是求一个数的几分之几是多少。
例如:×表示求的是多少?9×表示求9的是多少?
(二)、分数乘法的计算法则:
1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母能约分的,可以先约分,再计算.)
2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。
3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
4、分数的基本性质:分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。
(三)规律:(乘法中比较大小时)
一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。
一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
(四)分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。先乘、除后加、减,有括号的先算括号里面的,再算括号外面的。
(五)整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。
乘法交换律:a×b=b×a
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律:(a±b)×c=ac±bc
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量)
1、画线段图:
(1)两个量的关系:画两条线段图;
(2)部分和整体的关系:画一条线段图。
2、找单位“1”:
在分率句中分率的前面;或者“占”“是”“比”的后面。
3、求一个数的几倍:用一个数×几倍;
求一个数的几分之几是多少:用一个数×几分之几(分率)
4、写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于ד占”“是”“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:用单位“1”的量×分率=分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:用单位“1”的量×(1±分率)=分率对应量
三、倒数
1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:
(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数:把整数看作分母是1的分数,再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。
(4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。。(因为1×1=1;0乘任何数都得0)
4、对于任意数a(a≠0),它的倒数;非零整数a的倒数为;分数的倒数是;
5、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
第三单元分数除法
一、分数除法
1、分数除法的意义:
分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
乘法:因数×因数=积除法:积÷一个因数=另一个因数
2、分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数。
分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
3、规律(分数除法比较大小时):
(1)、当除数大于1,商小于被除数;
(2)、当除数小于1(不等于0),商大于被除数;
(3)、当除数等于1,商等于被除数。
4、运算顺序:
(1)在没有括号的算式里,要先算乘、除法,再算加、减法。
(2)连除:按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算。
(3)一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
分数除法解决问题:(也就是已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”:单位“1”的量×分率=分率对应量)(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量×(1±分率)=分率对应量
2、解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法)分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:方法是:一个数÷另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:方法是:两个数的相差量÷单位“1”的量
或者:①求多几分之几:大数÷小数–1
②求少几分之几:1-小数÷大数
三、比和比的应用
(一)、比的意义
1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。例如15:10=15÷10=
(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
3、比可以表示两个同类量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同类量的比,得到一个新量。例:路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。、5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、比和除法、分数的联系:
比
前项
比号“:”
后项
比值
除法
被除数
除号“÷”
除数
商
分数
分子
分数线“—”
分母
分数值
7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系。
(二)比的基本性质
1、商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数值不变。
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简单的整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简单的整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
:
(1)依据比的基本性质
①两个整数的比:用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来化简。
③两个小数的比:先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数,转化成整数比再化简。
(2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。如::=÷=×=
求比值的方法是用比的前项除以后项,结果是一个数(或分数),相当于商,不是比。
6、按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
按比例分配问题的解题步骤一般是:①先根据比求出总份数;②再求出各部分量占总量的几分之几;③求出各部分的数量。
7、路程一定,速度比和时间比成反比。(如:路程相同,速度比是4:5,时间比则为5:4)
工作总量一定,工作效率和工作时间成反比。(如:工作总量相同,工作时间比是3:2,工作效率比则是2:3)
第四单元圆
一、认识圆
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆的特征:外形美观,易滚动。
3、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
4、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
5、画圆步骤:定半径、定圆心、旋转一周。
6、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
7、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
8、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。
,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的。
用字母表示为:d=2r或r=
10、轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
11、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
12、只有1条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形
只有4条对称轴的图形是:正方形
有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的周长。发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率π是一个无限不循环小数。在计算时,一般取π≈。
(2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是π倍,。
(3)、世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:C=πd或C=2πr由圆的周长公式可以得到:d=r=
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:等于圆的周长÷2计算方法:2πr÷2即πr
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法πr+
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
(1)、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复杂为简单,化抽象为具体。
(2)、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图形越接近长方形。
(3)、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。长方形的长=圆的周长的一半长方形的宽=圆的半径因为:长方形面积=长×宽,所以:圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
用字母表示为:S圆=×r=πr×r=πr2由圆的面积公式可以知道:r2=S÷π
4、环形的面积=大圆的面积-小圆的面积
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)环形的面积用字母表示为:S环=πR2-πr2或者S环=π(R2-r2)
5、扇形的面积计算公式:S扇=πr2×(n表示扇形圆心角的度数)
6、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这个倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
7、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:两个圆的半径比是2∶3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3,而面积比是4∶9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4∶π。
9、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,当面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
10、确定起跑线:
(1)、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
(2)、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)
(3)、每相邻两个跑道相隔的距离是:2×π×跑道的宽度
(4)、当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2πa厘米;当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加πa厘米。
11、常用各π值结果:
π=====
6π=====
12、常用平方数结果112=121122=144132=169142=196152=225
162=256172=289182=324192=361
第五单元百分数
一、百分数的意义和写法
1、百分数的意义:百分数表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
2、百分数和分数的主要联系与区别:
(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。
(2)区别:①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位名称;分数既可以表示两个数的关系,又可以表示具体的数,表示具体数时可以带单位名称。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:
1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
:把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位,位数不够时,可以用0补足。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数:先把百分数改写成分母是100的分数,然后能约分要约成最简分数。
2、分数化成百分数:①用分数的基本性质,把分数化成分母是100的分数,然后再写成百分数形式。②先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化
==50%==25%==75%
==20%==40%==60%
==80%==%==%==%==%
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。常见的百分率的计算方法:
发芽率=×100%成活率=×100%
达标率=×100%出勤率=×100%
合格率=×100% 优良率=×100%
出粉率=×100%出米率=×100%
烘干率=×100%缩水率=×100%
商品的利润率=×100%利率=×100%
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。(一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。)
2、已知单位“1”的量,求单位“1”的百分之几是多少的问题(用乘法):数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”用单位“1”的量×分率=分率对应量)
(2)分率前是“多或少”的意思:用单位“1”的量×(1±分率)=分率对应量
3、已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。(即未知单位“1”的量,用除法)。
解法(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法)分率对应量÷对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多(或少)百分之几的问题:两个数的相差量÷单位“1”的量(结果要写成百分数)
或者:①求多百分之几:大数÷小数–1
②求少百分之几:1–小数÷大数
(二)、折扣
1、折扣:商品按原定价格的百分之几出售,叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几,也就是百分之几十。例如:八折==80%,六折五==65%
2、一成是十分之一,也就是10%。三成五就是十分之三点五,也就是35%
(三)纳税
1、纳税:纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
2、纳税的意义:税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、教育、文化和国防安全等事业。
3、应纳税额:缴纳的税款叫做应纳税额。
4、税率:应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
5、应纳税额的计算方法:应纳税额=总收入×税率
(四)利息
1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。
2、储蓄的意义:人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社,储蓄起来,这样不仅可以支援国家建设,也使得个人用钱更加安全和有计划,还可以增加一些收入。
3、本金:存入银行的钱叫做本金。
4、利息:取款时银行多支付的钱叫做利息。
5、利率:利息与本金的比值叫做利率。
6、利息的计算公式:利息=本金×利率×时间
7、注意:如要上利息税(国债和教育储藏的利息不纳税),则:税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息×利息税率=利息×(1-利息税率)
第六单元统计
一、扇形统计图的意义:
用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周角度数的百分比。)
第七单元数学广角
一、“鸡兔同笼”问题的特点:
题目中有两个或两个以上的未知数,要求根据总数量,求出各未知数的单量。
二、“鸡兔同笼”问题的解题方法
1、猜测法
2、假设法
(1)假如都是兔
(2)假如都是鸡
3、列方程法