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一、椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
二、椭圆的标准方程
,椭圆的标准方程:,其中
,椭圆的标准方程:,其中;
注:,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;
,都有和;
.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
三、椭圆的简单几何性质
椭圆:的简单几何性质
(1)对称性:对于椭圆标准方程说明:把换成、或把换成、或把、
同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为
,,,
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。
和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率:①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。
②因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而
越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。
注:椭圆的图像中线段的几何特征(如右图):
(1);
;(椭圆的第二定义)
;
(2);;;
(3);;;
四、椭圆与的区别和联系
标准方程
图形
性质
焦点
,
,
焦距
范围
,
,
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
,
,
轴长
长轴长=,短轴长=
离心率
准线方程
焦半径
,
,
注:关于椭圆与的说明:
相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;
不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
规律方法:
1、如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标
轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:
2、椭圆标准方程中的三个量的几何意义
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示
椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且。
可借助右图理解记忆:
显然:恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条
直角边。
3、如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4、方程是表示椭圆的条件
方程可化为,即,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。
5、求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。
、轴、原点对称的依据:
①若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
②若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
③若把曲线方程中的、同时换成、,方程不变,则曲线关于原点对称。
△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段,有关角()结合起来,建立、之间的关系.
焦点三角形面积公式:(P为椭圆上任一一点)
?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为,,用表示为。
显然:当越小时,越大,椭圆形状越扁;
当越大,越小,椭圆形状越趋近于圆。
(一)椭圆及其性质
1、椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
(2)一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数,那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数就是离心率
2、椭圆的标准方程:
3、椭圆的参数方程
4、离心率:椭圆焦距与长轴长之比
5、椭圆的准线方程:左准线右准线
(二)、椭圆的焦半径椭圆的焦半径公式:
焦点在x轴上的椭圆的焦半径公式:(其中分别是椭圆的左右焦点)
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式:(其中分别是椭圆的下上焦点)
(三)、直线与椭圆问题(韦达定理的运用)
1、弦长公式:若直线与圆锥曲线相交与、两点,
则:弦长
=x+m。
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。
2、已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程AB是椭圆+=1(a>b>0)的一条弦,中点M坐标为(x0,y0),
则AB的斜率为-.
运用点差法求AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2).
B都在椭圆上,∴
两式相减得:+=0,
∴+=0,
即:=-=-.
故:kAB=-.
例2、过椭圆内一点引一条弦,使弦被点平分,求这条弦所在直线的方程。
(四)、四种题型与三种方法
四种题型
1、已知椭圆C:内有一点A(2,1),F是椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的动点.
求:|PA|+|PF|的最小值。
2、已知椭圆内有一点A(2,1),F为椭圆的左焦点,P是椭圆上动点.
求:|PA|+|PF|的最大值与最小值。
3、已知椭圆外一点A(5,6),l为椭圆的左准线,P为椭圆上动点,点P到l的距离为d,求:|PA|+的最小值。
4、定长为d()的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动.
求:AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
三种方法
1、椭圆的切线与两坐标轴分别交于A,B两点,求:三角形OAB的最小面积。
2、已知椭圆和直线l:x-y+9=0,在l上取一点M,经过点M且以椭圆的焦
点为焦点作椭圆,求M在何处时所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆方程。
3、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点,求面积的最大值。
课后同步练习
,离心率是________,准线方程是_________.
、F2是椭圆的两个焦点,过F1的直线与椭圆交于M、N两点,则△MNF2的周长为()
,则P到另一个焦点的距离为()
,那么它的焦距是()
.
,那么实数k的取值范围是
A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)
,||=6,动点M满足,则动点M的轨迹是()
+=1,表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围为.
(-2,0),F2(2,0),并且经过点P(),则椭圆标准方程是_____
(-1,-2)且与椭圆的两个焦点相同的椭圆标准方程是____
(,-2),Q(-2,1)两点的椭圆标准方程是______
,则k的值等于.
△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是.
、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是
,F1、F2为焦点,,则
,过焦点且垂直于长轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为
(A)(B)(C)(D)
,则“成等差数列”是“”的()
(A)充要条件(B)必要不充分条件
(C)充分不必要条件(D)既非充分也非必要