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第一章丰富的图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
2、点、线、面、体
(1)几何图形的组成
点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、常见的几何体及其特点
长方体:有8个顶点,12条棱,6个面,且各面都是长方形(正方形是特殊的长方形),正方体是特殊的长方体。
棱柱:上下两个面称为棱柱的底面,其它各面称为侧面,长方体是四棱柱。
棱锥:一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。
圆柱:有上下两个底面和一个侧面,两个底面是半径相等的圆。
圆锥:有一个底面和一个顶点,且侧面展开图是扇形。
球:由一个面围成的几何体
4、棱柱及其有关概念:
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
5、正方体的平面展开图:11种
6、截一个正方体:
(1)用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。
注意:①、正方体只有六个面,所以截面最多有六条边,即截面边数最多的图形是六边形.
②、长方体、棱柱的截面与正方体的截面有相似之处.
(2)用平面截圆柱体,可能出现以下的几种情况.
(3)用平面去截一个圆锥,能截出圆和三角形两种截面(还有其他截面,初中不予研究)
(4)用平面去截球体,只能出现一种形状的截面——圆.
(5)需要记住的要点:
几何体
截面形状
正方体
三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形
圆柱
圆、长方形、正方形、……
圆锥
圆、三角形、……
球
圆
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图:从正面看到的图,叫做主视图。
左视图:从左面看到的图,叫做左视图。
俯视图:从上面看到的图,叫做俯视图。
8、多边形:由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形,叫做多边形。
从一个n边形的同一个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把这个n边形分割成(n-2)个三角形。
弧:圆上A、B两点之间的部分叫做弧。
扇形:由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
第二章有理数及其运算
1、有理数的概念及分类
①②
注意:因为有限小数和无限循环小数可以化为分数,所以把有限小数和无限循环小数都看作分数.
2、相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零。
注意:①在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,且与原点的距离相等.
②相反数是成对出现的,不能单独存在,单独的一个数不能说是相反数.
3、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意上述规定的三要素缺一不可)。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想,并能灵活运用。
4、倒数:如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
倒数还可以说成是:1除以一个数(除数不等于0)的商叫做这个数的倒数,如a≠0,a的倒数为.
5、绝对值:
(1)在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的绝对值。(|a|≥0)。零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
也可表示为:
;绝对值的问题经常分类讨论;
(2)绝对值的有关性质
①对任意有理数a,都有|a|≥0;
②若|a|=0,则a=0;
③若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
④若|a|=b(b>0),则a=±b;
⑤若|a|+|b|=0,则a=0且b=0;
⑥对任意有理数a,都有|a|=|-a|.
6、有理数大小的比较法则:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;
正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数;
两个负数,绝对值大的反而小.
7、有理数的运算:
(1)五种运算:加、减、乘、除、乘方
(2)有理数的运算顺序
先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。
(3)运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
8、乘方的概念
(1)求几个相同因数的积的运算,叫做乘方,即
在中,a叫做底数,n叫做指数,叫做幂.
(2)a2是重要的非负数,即a2≥0;若a2+|b|=0Ûa=0,b=0;
(3)据规律底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位.
字母表示数
1、代数式
用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
规定:单独的一个数字或字母也是代数式。
2、同类项
所有字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
注意:①两个相同:字母相同;相同字母的指数相等.②两个无关:与系数无关;与字母顺序无关.
3、合并同类项法则:
(1)找同类项
(2)合并同类项:①各同类项的系数相加作为新的系数
②字母以及字母的指数不变
(3)不同种的同类项间,用“+”号连接
(4)没有同类项的项,连同前面的符号一起照抄
4、去括号法则
(1)括号前是“+”,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。
(2)括号前是“﹣”,把括号和它前面的“﹣”号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。
5、整式的运算:
整式的加减法:(1)去括号;(2)合并同类项。
6、代数式求值------------用数值代替字母,按照代数式指明的运算进行计算
化简,求值------------①先化为最简的代数式(格式:解:原式=……);②再用数值代替字母,按照代数式指明的运算进行计算(格式:当……时,原式=……)
第四章平面图形及其位置关系
1、线段:绷紧的琴弦,人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。
2、射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。
3、直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。
(可以说延长或反向延长线段,反向延长射线;但不能说延长射线、延长或反向延长直线!)
4、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示。
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面)。
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。
5、点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
6、直线的性质
(1)直线公理:经过两个点有且只有一条直线,简称:两点确定一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
7、线段的性质
(1)线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短,简称:两点之间线段最短。
(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
8、线段的中点:
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。(注意:"若一点M,使得AM=BM,则M为线段AB的中点"这句话是错误的,有两种修改方式……)
9、角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。(静态定义)
或:角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。(动态定义)
10、平角和周角:一条射线绕着它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所形成的角叫做平角。终边继续旋转,当它又和始边重合时,所形成的角叫做周角。
11、角的表示
角的表示方法有以下四种:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
12、角的度量
角的度量有如下规定:把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
1°=60’,1’=60”
13、角的性质
(1)角的大小与边的长短无关,只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量,可以比较
(3)角可以参与运算。
14、角的平分线(像中点一样,有一点注意!)
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
15、平行线:
在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示,如“AB∥CD”,读作“AB平行于CD”。
注意:(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
16、平行线公理及其推论
平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
补充平行线的判定方法:
(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
注意:平行线的画法:①平移(推)②方格纸上
17、垂直:
两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。(学会在方格纸上画垂线。画垂直时,要注意标上直角符号。)
直线AB,CD互相垂直,记作“AB⊥CD”(或“CD⊥AB”),读作“AB垂直于CD”(或“CD垂直于AB”)。
18、垂线的性质:
性质1:平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简称:垂线段最短。
19、点到直线的距离:过A点作l的垂线,垂足为B点,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
20、同一平面内,两条直线的位置关系:相交或平行。
第五章一元一次方程
1、方程
含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
(1)等式的两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。
(2)等式的两边同时乘以同一个数((或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
5、解一元一次方程的一般步骤:
(1)去分母(2)去括号(3)移项(把方程中的某一项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫移项。)(4)合并同类项(5)将未知数的系数化为1。
6、列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:…………多用于“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----
”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程.
(2)画图分析法:…………多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础.
7、列方程解应用题的常用公式:
(1)行程问题:距离=速度·时间;
(2)工程问题:工作量=工效·工时;
(3)比率问题:部分=全体·比率;
(4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度;
(5)商品价格问题:售价=定价·折·,利润=售价-成本,;
(6)周长、面积、体积问题:C圆=2πR,S圆=πR2,C长方形=2(a+b),S长方形=ab,C正方形=4a,
S正方形=a2,S环形=π(R2-r2),V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πR2h,V圆锥=πR2h.
第六章生活中的数据
1、科学记数法
(1)一般地,一个大于10的数可以表示成的形式,其中,n是正整数,这种记数方法叫做科学记数法。
(2)近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.
(3)有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
2、扇形统计图及其画法:
扇形统计图:利用圆与扇形来表示总体与部分的关系,即圆代表总体,圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分,扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小,这样的统计图叫做扇形统计图。
画法:
(1)计算不同部分占总体的百分比(在扇形中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360的比)。
(2)计算各个扇形的圆心角(顶点在圆心的角叫做圆心角)的度数。
(3)在圆中画出各个扇形,并标上百分比。
3、各种统计图的优缺点
条形统计图:能清楚地表示出每个项目的具体数目。
折线统计图:能清楚地反映事物的变化情况。
扇形统计图:能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
可能性
1、确定事件和不确定事件
(1)、确定事件
必然事件:生活中,有些事情我们事先能肯定它一定会发生,这些事情称为必然事件。
不可能事件:有些事情我们事先能肯定它一定不会发生,这些事情称为不可能事件。
(2)、不确定事件:
有些事情我们事先无法肯定它会不会发生,这些事情称为不确定事件
(3)、
必然事件
确定事件
事件不可能事件
不确定事件
2、不确定事件发生的可能性
一般地,不确定事件发生的可能性是有大小的,但一定大于0,且小于1。
必然事件发生的可能性是1,不可能事件发生的可能性是0
注:某事件发生概率的书写格式为“P(某事件)=……”
董义刚13439849712