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导数及其应用
导数概念的引入
导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数在处的瞬时变化率是,
我们称它为函数在处的导数,记作或,
即=
导数的几何意义:,我们可以看出当点趋近于时,直线与曲线相切。容易知道,割线的斜率是,当点趋近于时,函数在处的导数就是切线PT的斜率k,即
导函数:当x变化时,便是x的一个函数,,即
1)基本初等函数的导数公式:
1若(c为常数),则;
2若,则;
3若,则
4若,则;
5若,则
6若,则
7若,则
8若,则
2)导数的运算法则
1.
2.
3.
3)复合函数求导
和,称则可以表示成为的函数,即为一个复合函数
:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:
在某个区间内,如果,那么函数在这个区间单调递增;
如果,那么函数在这个区间单调递减.
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
求函数的极值的方法是:
如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;
如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值;
(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数在上的最大值与最小值的步骤
求函数在内的极值;
将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章推理与证明
推理与证明
推理
证明
合情推理
演绎推理
直接证明
数学归纳法
间接证明
比较法
类比推理
归纳推理
分析法
综合法
反证法
知识结构
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤:
通过观察个别情况发现某些相同的性质;
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想);
证明(视题目要求,可有可无).
2、类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).
简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤:
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理.
简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”,包括
⑴大前提-----已知的一般原理;
⑵小前提-----所研究的特殊情况;
⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.
用集合的观点来理解:若集合中的所有元素都具有性质,是的一个子集,那么中所有元素也都具有性质P.
M
·aS
从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示:
要点:顺推证法;由因导果.
⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
框图表示:
要点:逆推证法;执果索因.
⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,.
反证法法证明一个命题的一般步骤:
(1)(反设)假设命题的结论不成立;
(2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止;
(3)(归谬)断言假设不成立;
(4)(结论)肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
(1)(归纳奠基)证明当取第一个值时命题成立;
(2)(归纳递推)假设时命题成立,推证当时命题也成立.
只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立.
用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.
第三章数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
复数:形如的数叫做复数,和分别叫它的实部和虚部.
分类:复数中,当,就是实数;,叫做虚数;当时,叫做纯虚数.
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴除去原点的部分叫做虚轴。
两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
⑴
⑵
⑶
⑷
指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数).
⑴复数加减法:;
⑵复数的乘法:;
⑶复数的除法:
(类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化)
设是1的立方虚根,则,
复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中轴叫做复平面的实轴,轴叫做复平面的虚轴.