文档介绍：该【高中数学知识点 (2) 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【19】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学知识点 (2) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。第一章集合与常用逻辑用语概念
一、集合有关概念
集合的中元素的三个特性:
元素的确定性如:世界上最高的山
元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
3、空集不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
②真子集:如果AÍB,且A¹B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果AÍB,BÍC,那么AÍC
④如果AÍB同时BÍA那么A=B
,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
三、集合的运算
运算类型
交集
并集
补集
定义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
S
A
记作,即
CSA=
韦
恩
图
示
S
A
常用逻辑用语知识点归纳
,(原命题、否命题、逆命题、逆否命题)
(1)四种命题的关系,
(2)等价关系(互为逆否命题的等价性)
(a)原命题与其逆否命题同真、同假。(b)否命题与逆命题同真、同假。
、必要条件、充要条件
(1)定义:若p成立,则q成立,即时,p是q的充分条件。同时q是p的必要条件。
若p成立,则q成立,且q成立,则p成立,即且,则p与q互为充要条件。
(2)判断方法:
集合法:设使p成立的条件组成的集合是A,使q成立的条件组成的集合为B,若则p是q的充分条件。同时q是p的必要条件。
若A=B,则p与q互为充要条件。
(iii)命题法:假设命题:“若p则q”。当原命题为真时,p是q的充分条件。
当其逆命题也为真时,p与q互为充要条件。
用集合法判断看,前者:集合A是集合B的子集;后者:集合A是集合B的真子集。
“或”,“且”,“非”。
复合命题的真假判断:
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
注意:“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念:前者只否定结论,后者结论与条件共同否定。
二,函数与导数
?
函数定义域求法:
分式中的分母不为零;
偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
正切函数
2、函数值域的求法
1、直接观察法2、配方法3、函数有界性法4、函数单调性法5、换元法6数形结合法7、不等式法
3,函数的单调性
(1)设那么
上是增函数;
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
注:如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
(3)求法:定义法,基本函数法,导数法
(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?(f(x)定义域关于原点对称)
结论:(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
,则的周期T=a;
、指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
定义域R
定义域R
值域y>0
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
函数图象都过定点(0,1)
二、对数函数
(一)对数
:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)
说明:注意底数的限制,且;
;
注意对数的书写格式.
两个重要对数:
常用对数:以10为底的对数;
自然对数:以无理数为底的对数的对数.
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
·+;
-;
.
注意:换底公式
(,且;,且;).
(1);(2).
(二)对数函数
a>1
0<a<1
定义域x>0
定义域x>0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点(1,0)
函数图象都过定点(1,0)
7、方程的根与函数的零点
函数零点的意义:函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即:方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
:
函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率,也就是说,曲线在点P处的切线的斜率是,切线方程为
:
(为常数)
:
如果>0,则为增函数;
如果<0,则为减函数.
:极值是在局部对函数值比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.
:
I.(为常数)
()
II.
三,三角函数、三角恒等变换、解三角形知识清单
扇形半径为R,圆心角的弧度数是,则这个扇形的弧长,面积,
1rad
任意角三角函数定义
设是一个任意角,的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点的距离,那么
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:(2)商数关系:
(奇变偶不变,符号看象限)
,化为同名三角函数
(1),其中,
(2)
(3)
4.(补充)万能公式(知道即可求)
,,
三角函数的基本性质
函数
图像
定义域
R
值域
R
周期性
奇偶性
奇函数(过原点)
偶函数(不过原点)
奇函数(过原点)
单调性
上减
上减
上都是增函数
正弦函数,对称轴为,对称中心为,
余弦函数,对称轴为,对称中心为,
正切函数,对称中心为,;渐近线为
解三角形
1.
(r为内接圆半径)
3.
已知两角一边(只有唯一解)
正弦定理
已知两边一对角
已知两边一夹角(唯一解)余弦定理
已知三边(唯一解)
四,向量与复数
一、向量的有关概念
:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
:长度等于0的向量,其方向是任意的.
:长度等于1个单位的向量.
:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.
:长度相等且方向相同的向量.
:长度相等且方向相反的向量.
二、向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
(1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
:设λ,μ是两个实数,则:
①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.
四、共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.
二、平面向量坐标运算
、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1).
(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
三、平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠∥b⇔x1y2-x2y1=0.
1、数系的扩充
正整数(N*)→自然数(N)→整数(Z)→有理数(Q)→实数(R)→复数(C)
2,共轭复数:a+bi的共轭复数为a-bi
3、复数的运算a+bi±c+di=a±c+(b±d)i
a+bi∙c+di=ac+bd+(bc+ad)i
a+bic+di=(ac+bd)+bc-adic2+d2
Zm∙Zn=Zm+n;Zmn=Zmn;Z1Z2m=Z1mZ2m(m,n∈Z)
:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
(1)异面直线所成的角的范围是。
(2)直线与平面所成的角的范围是
(3)二面角的范围在课本中没有给出,一般是指,解题时要注意图形的位置和题目的要求。
(1)点到直线的距离:点P到直线的距离为点P到直线的垂线段的长,常先找或作直线所在平面的垂线,得垂足为A,过A作的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段PB即为点P到直线的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。
点到平面的距离:①作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法,如果平面的斜线上两点A,B到斜足C的距离AB,AC的比为,则点A,,AB=AC时,点A,B到平面的距离相等;③体积法
(2)异面直线间的距离:①先证线段AB为异面直线的公垂线段,然后求出AB的长即可.②找或作出过且与平行的平面,则直线到平面的距离就是异面直线间的距离.③找或作出分别过且与,分别平行的平面,则这两平面间的距离就是异面直线间的距离.④根据异面直线间的距离公式求距离。
(3)直线到平面的距离:。
(4)平面与平面间的距离:。
a
b
E
F
(1)用法向量求异面直线间的距离
如右图所示,a、b是两异面直线,是a和b的法向量,点E∈a,F∈b,则异面直线a与b之间的距离是;
A
B
C
α
(2)用法向量求点到平面的距离
如右图所示,已知AB是平面α的一条斜线,为平面α的法向量,则A到平面α的距离为;
(3)用法向量求直线到平面间的距离
首先必须确定直线与平面平行,然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
(4)用法向量求两平行平面间的距离
首先必须确定两个平面是否平行,这时可以在一个平面上任取一点,将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
(5)用法向量求二面角
α
β
如图,有两个平面α与β,分别作这两个平面的法向量与,则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补,所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
(6)法向量求直线与平面所成的角
要求直线a与平面α所成的角θ,先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦,易知θ=或者。
五,数列
第一部分等差数列
一定义式:
二通项公式:
三前n项和公式:
一个数列是等差数列的另一个充要条件:(a,b为常数,a≠0),即是关于n的二次函数,因为,所以关于n的图像是二次函数图像的分点表示形式。
;