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第一章三角形的初步认识
一、三角形的基本概念 
三角形:不在同一条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。 
二、三角形的分类: 
:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形(定义,区别)。
:不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。 
三、三角形的基本性质 
°。 
(由两点之间线段最短得到)。
三角形的任何两边的差小于第三边
三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。
应用:知两条确定第三条范围;知三条判断能否组成三角形;知四条及以上
 :由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。 
三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和(教材P7做一做)。 
四、几条重要的线 
:一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和
对边中点;三条角平分线都在三角形内且相交于一点;等量关系式∠1=∠2=二分之一∠α ;
:连接一个顶点和它对边的中点的线段;三条中线都在三角形内且相交于一点;等量关系式AP=BP=二分之一AB 。等积三角形;周长差三角形
;从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。 
锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。
直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合,三条高在三角形的直角顶点处相交于一点。
钝角三角形中,夹钝角两边上的高都在三角形的外部,三条高在三角形的外部相交于一点。
会带来面积问题、直角、直角三角形 
(中垂线):垂直并平分一条线段的直线。 
中垂线性质:线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
逆定理:到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
:角平分线上的点到角两边的距离相等。 
逆定理:角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
五、全等三角形 
:能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形;  
:能够完全重合的两个三角形。 
:能够相互重合的顶点;
对应边: 相互重合的边;有公共边的,公共边一定是对应边; 
对应角:相互重合的角。有公共角的,角一定是对应角;有对顶角的,对顶角一定是对应角; 
性质定理:全等三角形的对应角相等,对应边相等。注意“对应”二字。 
 SSS——三边对应相等的两个三角形全等; 
SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等;
 ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等;
AAS—— 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 
问题:为什么SSA不可以判定?
HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
用符号≌表示两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
 (二)灵活运用全等判定定理 
1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 
(1)已知条件中有两角对应相等,可找: 
①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) 
(2)已知条件中有两边对应相等,可找 
①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) 
(3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 
①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)
六、尺规作图
尺规作图:在几何作图中,我们把用没有刻度的直尺和圆规作图,简称尺规作图。
、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、
、作角的平分线、中垂线角平分线在一起作、
、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高 
作法:有规定名称时需格外注意字母的标注
注意务必考虑三角形的各要素(类比于三角形全等的判定条件)。 
七、定义、命题与证明
:能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
:定义:判断某一件事情的句子
结构:由条件和结论两部分组成。
句式改写:如果……那么……
分类:真命题通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的
假命题通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例)
、逆命题互逆定理原定理、逆定理
每个命题都有它的逆命题,但每个真命题的逆命题不一定是真命题。
:从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。
证明几何命题的格式:(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在已知中写出条件,在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。
在解决几何问题时,有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中,辅助线通常画成虚线。
第二章特殊三角形
一、图形的轴对称
轴对称图形定义:一个沿着一条直线折叠后,直线两侧的部分能够互相重合图形。
对称轴:定义、位置的确定、条数、对称点、作图、
性质:对称轴垂直平分连结两个对称点的线段
图形的轴对称定义、性质:成轴对称的两个图形是全等图形。
二、等腰三角形
: 
边——等腰三角形两腰相等;
角——等腰三角形两底角相等(即在同一个三角形中,等边对等角);
线——等腰三角形三线合一,这三线是指顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线,也就是说一条线段充当三种身份;
是常添的辅助线
等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴有1条或3条。 
: 
边——有两条边相等的三角形是等腰三角形;
(注意:有两腰相等的三角形是等腰三角形,这句话对吗?) 
角——有两内角相等的三角形是等腰三角形(即在同一个三角形中,等角对等边)。 
: 
等边三角形各条边相等,各内角相等,且都等于60。;三线合一在每边上都成立。
等边三角形是轴对称图形,它有3条对称轴。 
: 
边——有三条边相等的三角形是等边三角形;
角——有三个角都是60。的三角形是等边三角形;
有两个角都是60。的三角形是等边三角形;
边角——有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形。 
三、直角三角形
:
 角——直角三角形两锐角互余;
边——直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
边——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(即勾股定理)。a2+b2=c2 
30°角所对的直角边等于斜边的一半。 
: 
角——有一个角是直角的三角形是直角三角形;
角——有两个角互余的三角形是直角三角形;
边——较小两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形。 
边——一条边上的中线等于该边长度的一半,那么该三角形是直角三角形,(但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形,但有助于解题。) 
: 
边——斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。   
四、重点解读 
,应重点分清性质与判定的区别,两者不能混淆。一般而言,根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定,而根据图形形状得到边角关系那就是性质; 
,即先有等腰三角形,后有腰,因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”; 
,而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线,熟练掌握可以为解题带来不少方便; 
,解题时应注意分清哪条是斜边,哪条是直角边,不要一看到字母“c”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4,就认为另一边一定是5; 
5.“HL”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法,只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下,此方法才有效,当然,以前学过的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。 
切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,也就是边边角,没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做。 
本章解题时用到的主要数学思想方法: 
⑴ 分类讨论思想(特别是在语言模糊的等腰三角形中所求的边、角、周长等) 
⑵ 方程思想:主要用在折叠之后产生直角三角形时,运用勾股定理列方程;还有就是在等腰三角形中求角度,求边长
 
⑶ 等面积法 
(4)解决几何问题时,主要从几何图形边、角、线三方面入手,分别从题中、图中找已知条件ïî
第三章一元一次不等式的知识点
:
一般的,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接的式子叫做不等式。不等式中可以含有未知数,也可以不含)
用不等号连接的,含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式。
二、不等式的性质:
性质1:如果a>b,b>c那么a>c
性质2:如果a>b,那么a±c>b±c
即不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或a/c>b/c)
如果a>b,c<0,那么ac<bc(或a/c<b/c)
即不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
注;不等式的两边都乘以0,不等号变等号。
三、一元一次不等式:
,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1次的不等式,叫做一元一次不等式。
:
(1)能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解。
(2)一个有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集。
(3)求一元一次不等式解集的过程叫做解不等式。
(4)不等式(组)的特殊解——有限的一个或几个解。
四、解一元一次不等式的一般步骤:(每步的依据),(每步需注意的事项)
1、去分母(不等式性质2)(没分母的也要乘,多项式分子放进括号内)
2、去括号(去括号法则)(负数乘进去时每项都变号)
3、移项(不等式性质1)(移动的项要变号)
4、合并同类项(合并同类项法则)(运算法则要熟练)
5、将未知数的系数化为1(不等式性质2)(乘、除以负数时要变向)
6、在数轴上表示不等式的解集
:
(1)一般的,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。
(2)一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。
(3)不等式组的解的求解过程分别求出每个不等式的解、把两个不等式的解表示在同一数轴上、取公共部分作为不等式组的解(若没有公共部分则无解)。
口诀:大大取大,小小取小,大小小大两头夹,大大小小是无解
六、列一元一次不等式(组)解应用题
步骤参照列一元一次方程解应用题,只是最后答的时候写的数值可能要用到取近似数的各种方法。
方案设计题主要通过解不等式组解决。
两条直线的交点坐标也可以通过解不等式组解决。
:
(1)利用数轴法;右边的点表示的数总比左边的大
(2)直接比较法;照法则比较就是了
(3)差值比较法;差大于等于0时,被减数大于等于减数
(4)商值比较法;商大于等于1时,被除数大于等于除数
(5)利用特殊比较法。(在涉及代数式的比较时,还要适当的使用分类讨论法)
:
(1)用不等式表示:一般的,一个含未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式表达出来,
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地说明不等式有无限多个解,用数轴表示不等式的解集要注意两点:一是定边界线;二是定方向。
:
(1)不等式左右两边都是整式;
(2)不等式中只含一个未知数;
(3)未知数最高次数是1。
注:一元一次不等式的解集不是具体的几个数,而是一个范围,集合。
:
一般先求出函数表达式,再化简不等式求解。
:
(1)求出每个不等式的解集;
(2)求出每个不等式的解集的公共部分;(一般利用数轴)
(3)用代数符号语言来表示公共部分。(也可以说成是下结论)
:
(1)关于x不等式(组):{x≥a}{x≤a}的解集为:x=a
(2)关于x不等式(组):{x>a}{x<a}的解集是空集。
第四章   图形与坐标
一、确定位置的方法: 
确定物体在平面上的位置有两种常用的方法: 
1、有序数对法:用一对有序实数确定物体的位置。
这种确定方法要注意有序,要规定将什么写在前,什么写在后。 
2、方向、距离法:用方向和距离确定物体的位置(或称方位)。
这种确定方法要注意参照物的选择,语言表达要准确、清楚。  
二、平面直角坐标系概念:
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,水平的数轴叫x轴或横轴;铅垂的数轴叫y轴或纵轴,两数轴的交点O称为原点。  
三、点的坐标:在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标,则有序实数对(a、b)叫做P点的坐标。  
四、在直角坐标系中如何根据点的坐标:找出这个点,方法是由P(a、b), 在x轴上找到坐标为a的点A,过A作x轴的垂线,再在y轴上找到坐标为b的点B,过B作y轴的垂线,两垂线的交点即为所找的P点。  
五、如何根据已知条件建立适当的直角坐标系? 
  根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便,一般地没有明确的方法,但有以下几条常用的方法: 
,使它坐标为(0,0);  
 2、以图形中某线段所在直线为x轴(或y轴);  
 3、以已知线段中点为原点; 
 4、以两直线交点为原点; 
  5、利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。  
六、各象限上及x轴,y轴上点的坐标的特点: 
 第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-)  x轴上的点纵坐标为0,表示为(x,0);y轴上的点横坐标为0,表示为(0,y)  
七、图形“纵横向伸缩”的变化规律:   
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别变成原来的n倍时,所得的图形比原来的图形在横向:①当n>1时,伸长为原来的n倍;②当0<n<1时,压缩为原来的n倍。 
2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别变成原来的n倍时,所得的图形比原来的图形在纵向:①当n>1时, 伸长为原来的n倍;②当0<n<1时,压缩为原来的n倍。
八、图形“纵横向位置”的变化规律: 
1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变,而横坐标分别加上a,所得的图形形状、大小不变,而位置向右(a>0)或向左(a<0)平移了|a|个单位。  
2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变,而纵坐标分别加上b,所得的图形形状、大小不变,而位置向上(b>0)或向下(b<0)平移了|b|个单位。       
     平移变换的坐标变化规律是:左正右负,上正下负  
九、图形“倒转与对称”的变化规律: 
1、将图形上各个点的横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于x轴对称。(关于x轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标互为相反数) 
2、将图形上各个点的纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于y轴对称。(关于y轴对称的两点:纵坐标相同,横坐标互为相反数) 
3、将图形上各个点的横坐标分别乘以-1,纵坐标分别乘以-1,所得的图形与原来的图形关于原点对称。(关于原点对称的两点:横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数) 
十、图形“扩大与缩小”的变化规律: 
将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍(n>0),所得的图形与原图形相比,形状不变;①当n>1时,对应线段大小扩大到原来的n倍;②当0<n<1时,对应线段大小缩小到原来的n倍。
第五章一次函数
函数
1、变量:在某个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在某个变化过程中固定不变的量。
2、函数:一般的,在某个变化过程中,设有两个变量x、y,如果对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值,那么就说y是x的函数;x称为自变量。
(判断y是否为x的函数,只要看x取值确定的时候,y是否有唯一确定的值与之对应)
3、自变量的取值范围:,一个函数中的自变量允许取值的范围。
4、确定函数自变量的取值范围的方法:
(1)关系式为整式时,为全体实数;
(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;
(3)关系式含有二次根式时,被开平方式大于等于等于零;
(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;
(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。
5、函数的解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
6、函数的图像
一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
7、描点法画函数图形的一般步骤
第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法
列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。
图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
一次函数
1、一次函数的定义
一般地,形如(,是常数,且)的函数,叫做一次函数,其中x是自变量。当时,一次函数,又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是,要判断一个函数是否是一次函数,就是判断是否能化成以上形式.
⑵当,时,仍是一次函数.
⑶当,时,它不是一次函数.
⑷正比例函数是一次函数的特例,一次函数包括正比例函数.
2、正比例函数及性质
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.
注:正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小.
解析式:y=kx(k是常数,k≠0)
必过点:(0,0)、(1,k)
走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限
增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小
倾斜度:|k|越大,直线越陡峭,越接近y轴;|k|越小,直线越平坦,越接近x轴
3、一次函数及性质
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注:一次函数一般形式y=kx+b(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过(0,b)和(-,0)两点的一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)(2)必过点:(0,b)和(-,0)
(3)走向:k>0,图象经过第一、三象限;k<0,图象经过第二、四象限
b>0,图象经过第一、二象限;b<0,图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.
(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.
(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;
当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
一次
函数
,
符号
图象
性质
随的增大而增大
随的增大而减小
4、一次函数y=kx+b的图象的画法.
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),.即横坐标或纵坐标为0的点.
b>0
b<0
b=0
k>0
经过第一、二、三象限
经过第一、三、四象限
经过第一、三象限
图象从左到右上升,y随x的增大而增大
k<0
经过第一、二、四象限
经过第二、三、四象限
经过第二、四象限
图象从左到右下降,y随x的增大而减小
5、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移)
6、用待定系数法确定函数关系式
一般步骤:
(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;
(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;
(3)解方程得出未知系数的值;
(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
使用环境
(1)给出系数不确定的函数关系式(2)明确指出哪类函数关系
(3)实际问题中的数量关系(4)先画出图像再猜想函数类型
变量的值给出的四种不同方式
(1)当……句式(2)在表格中出现
(3)以点的坐标形式呈现(4)从图像中找点
7、一、三象限角平分线是直线y=x,二、四象限角平分线是直线y=-x
8、两条直线的交点坐标可以通过求解方程组得到
9、实际问题情境中的图像必须在自变量的取值范围内画出。
10、正比例函数和一次函数及性质
正比例函数
一次函数
概念
一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数
一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),=0时,是y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
自变量
范围
X为全体实数
图象
一条直线
必过点
(0,0)、(1,k)
(0,b)和(-,0)
走向
k>0时,直线经过一、三象限;
k<0时,直线经过二、四象限
k>0,b>0,直线经过第一、二、三象限
k>0,b<0直线经过第一、三、四象限
k<0,b>0直线经过第一、二、四象限
k<0,b<0直线经过第二、三、四象限
增减性
k>0,y随x的增大而增大;(从左向右上升)
k<0,y随x的增大而减小。(从左向右下降)
倾斜度
|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴
图像的
平移
b>0时,将直线y=kx的图象向上平移个单位;
b<0时,将直线y=kx的图象向下平移个单位.
11、直线()与()的位置关系
(1)两直线平行且(2)两直线相交
(3)两直线重合且(4)两直线垂直