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有理数
,零上和零下,收入和支出,升高和下降,买进和卖出。
像+,+12,,258等大于0的数(“+”通常不写)叫正数。
像-5,-,-等在正数前面加“—”(读负)的数叫负数。
【注】0既不是正数也不是负数。
(1)整数:正整数、零和负整数统称为整数。
分数:正分数和负分数统称为分数。
有理数:整数和分数统称为有理数。
(2)有理数分类
按有理数的定义分类2)按正负分类
正整数正整数
整数0正有理数
有理数负整数有理数正分数
正分数0负整数
分数负有理数
负分数负分数
【注】有限循环小数叫做分数。
(3)数集把一些数组合在一起,就组成了一个数的集合,简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集,类似的,有整数集,正数集,负数集,所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集,所有负数和零组成的数集叫做非负数集。
(1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
【注】1)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度缺一不可。
2)数轴能形象地表示数,所有的有理数都可用数轴上的点表示,但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.
(2)在数轴上比较有理数的大小 
1)在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。 
2)由正、负数在数轴上的位置可知:正数都有大于0,负数都小于0,正数大于一切负数。 
(1)只有符号不同的两个数称互为相反数,如-5与5互为相反数。 
(2)从数轴上看,位于原点两旁,且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。(几何意义) 
(3)0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 
(4)相反数是表示两个数的相互关系,不能单独存在。 
(5)数a的相反数是—a。
(6)多重符号化简  
多重符号化简的结果是由“-”号的个数决定的。如果“-”号是奇数个,则结果为负;如果是偶数个,则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 
(1)在数轴上表示数a的点离开原点的距离,叫做数a的绝对值。
(2)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零. 
(3)绝对值的主要性质 
一个数的绝对值是一个非负数,即a≥0,因此,在实数范围内,绝对值最小的数是零. 
(4)两个相反数的绝对值相等. 
(5)运用绝对值比较有理数的大小 
两个负数,绝对值大的反而小. 
(6)比较两个负数的方法步骤是: 
1)先分别求出两个负数的绝对值; 
2)比较这两个绝对值的大小; 
3)根据“两个负数,绝对值大的反而小”作出正确的判断. 
(1)有理数加法法则
1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3)互为相反数的两个数相加得零。
4)一个数与0相加,仍得这个数。
(2)有理数加法的运算律
加法交换律:a+b=b+a
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
减去一个数等于加上这个数的相反数。
a-b=a+(-b)
(1)省略加号和的形式:在一个和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如:把-8+(+10)+(-6)+(-4)写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8,正10,负6,负4的和”也可读作“负8加10减6减4。
(2)适当的应用加法运算律。
(1)有理数的乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与零相乘都得零。
(2)几个不等于零的数相乘,积的正负号由负因数的个数决定,当负号的个数为奇数时,积为负;当负号的个数为偶数时,积为正。
几个数相乘,有一个因数为零,积就为零。
(3)乘法运算律
乘法交换律:ab=ba
乘法结合律:(ab)c=a(bc)
乘法对加法的分配律:a(b+c)=ab+ac
(1)倒数:乘积为1的两个数互为倒数。
【注】0没有倒数。
(2)有理数除法法则1:除以一个数等于乘以这个数的倒数。
【注】0不能做除数。
(3)有理数的除法法则2:两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
零除以任何一个不等于的数,都得零。
(1)求几个相同因数积的运算,叫做乘方。
个
(2)乘方的结果叫做幂,a叫做底数,n叫做指数。
(3)有理数乘方法则:
正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,0的任何非0次幂都是零。
(1)一般的,10的n次幂,在1的后面有n的0。
(2)一个大于0的数就记成的形式。其中n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。
(3)用科学记数法表示一个数时,10的指数等于原数的整数位数减1。(或等于小数点向右移动的位数。
(1)先算乘方,再算乘除,最后算加减。
(2)同级运算,按照从左至右的顺序进行。
(3)如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,然后算大括号里的。
(1)准确数:完全符合实际的数。
(2)近似数:和准确数非常接近的数。近似数和准确数接近的程度叫做精确度。
(3)一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,这时,从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止,所有的数字都叫做这个数的有效数字。
(4)近似数的精确度有两种形式:1)精确到哪一位,2)保留几个有效数字。
第三章整式的加减
代数式
用运算符号将数字和字母连接起来的式子
分式
分母中含有字母
整式
单项式
数与字母的积
多项式
几个单项式的和
代数式的运算
(合并同类项)
合并同类项法则:
同类项系数相加所得的结果为系数,字母和字母的指数不变
去括号
括号前是加号
不改变符号
括号前是减号
都改变符号
(1)由数和字母用运算符号连接起所成的式子叫做代数式,单独的一个数或一个字母也叫代数式。
【注】运算符号指加、减、乘、除、乘方、开方。代数式中不可含有“>”、“<”、“=”、“”、“”、“”等表示相等或不等关系的符号。
(2)代数式书写要求
1)代数式中出现的乘号,通常写作“”或省略不写。但数字与数字相乘时,要用“”。
2)数字与字母相乘时,数字写在字母的前面。
3)除法运算写成分数形式。
4)带分数与字母相乘时,要把带分数写成假分数。
5)在一些实际问题中,有时表示数量的代数式有单位名称,若代数式是积或商的形式,则单位直接写在后面,若代数式是和或差的形式,则必须先把代数式用括号括起来,再将单位名称写在后面。
(3)解释简单代数式表示的实际背景
(4)列代数式
在解决实际问题时,常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来,即列代数式。
【注】抓住题中表示运算关系的关键词:如和、差、积、商、比、倍、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等。
(5)代数式的值
一般的,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中运算计算得出的结果叫做代数式的值。
【注】1)代数式中的值随着代数式中字母取值的变化而变化。所以求代数式值时,在代入前必须写出“当……时”。
2)代数式里字母的取值必须确保代数式有意义。
(1)如100t、6a、、vt、-n,它们都是数或字母的积,像这样的式子叫做单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式。
(2)单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
(3)单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
【注】1)当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写。
2)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数。
(1)几个单项式的和,叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项。
(2)多项式的次数:多项式里次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。
(3)一个多项式含有几项,就叫几项式;例如:x+2x+18是一个二次三项式。
【注】1)多项式的次数不是所有项的次数和。
2)多项式的每一项都包括它前面的正负号。
。
为便于多项式的运算,可以用加法交换律将多项式各项的位置按某个字母的指数的大小顺序重新排列。
若按某个字母的指数从大到小的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母降幂排列。
若按某个字母的指数从小到大的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母升幂排列。
【注】重新排列的多项式,每一项一定要连同它的正负号一起移动。
含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母升幂排列或降幂排列。
(1)同类项:所含字母相同,并且相同字母指数也相同的项叫做同类项,所有的常数项都是同类项。
(2)合并同类项:根据乘法对加法的分配律把多项式中同类项合并成一项叫做合并同类项。
合并同类项法则:在合并同类项时,把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变。
(3)去括号与添括号
1)去括号法则:括号前是“十”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不改变正负号;括号前是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉,括号里各项都改变正负号。
a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a-b-c
2)添括号法则:所添括号前面是“十”号,括到括号里的各项都不改变正负号;所添括h号前是“一”号,括到括号里的各项都改变正负号。
a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)
(4)整式的加减先去括号,再合并同类项。
第四章图形的初步认识
几何体
棱柱,棱锥
圆柱,圆锥
点动成线,线动成面,面动成体
从三个方向看:
主视图;左视图;俯视图
球
棱与棱的交点(各侧棱的公共点)
——顶点
侧棱长相等
棱柱上下面是相同的多边形
棱锥侧面是三角形
(1)球体
(2)柱体:包括圆柱和棱柱。
1)圆柱:有两个底面是圆,侧面是曲面。
2)棱柱:上下两个底面是两个平行且相同的多边形,侧面是平行四边形。
棱柱可按底面多边形边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
(3)椎体:包括圆锥和棱锥。
1)圆锥:有一个底面是圆,侧面是曲面。
2)棱锥:底面是多边形,侧面是三角形。
棱锥可按底面多边形边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
(4)多面体:由平的面围成的立体图形。
(1)视图:就是从正面、上面、和侧面(左面或右面)三个不同的方向看一个物体,然后描绘三张所看到的图,即视图。
正视图:从正面看到的图形。
俯视图:从上面看到的图形。
侧视图:从侧面看到的图形。依观看方向不同,有左视图、右视图。
三视图:通常把正视图、俯视图、与左(或右)视图称作一个物体的三视图。
(2)球体的三视图都是圆。
正方体的三视图都是正方形
圆柱体的正视图和左视图都是长方体,俯视图是圆。
圆锥体的正视图和左视图都是三角形,俯视图是圆,中心有一个点。
主视图:可分清物体的长与高。
俯视图:可分清物体的长与宽。
左视图:可分清物体的宽与高。
口诀:主俯长对正,主左高齐平,俯左宽相等。
多面体是由平面图形围成的的立体图形,沿着多面体的一些棱将它剪开,可以把多面体的表面展开成一个平面图形,这个平面图形叫做多面体的表面展开图。
正方体的表面展开图:有“一四一型”、“一三二型”、“二二二型”、“三三型”
口诀:一行不过四,“田”“凹”应弃之,相间、Z端是对面。
(1)圆是由曲线围成的封闭图形。
(2)多边形:由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做多边形。
按照组成多边形的边的个数,多边形可分为三角形、四边形、五边形、六边形……
在多边形里,三角形是最基本的图形,每个n边形都可以分割成(n-2)个三角形。
——点和线
(1)点:通常表示一个物体的位置。
(2)线段、射线、直线
线段:有两个端点,不向任何一方延伸,可度量。有两种表示方法线段AB(BA),或线段a。
a
A
B
O
A
射线:有一个端点,向一方无限延伸,不可度量。有一种表示方法射线OA.。
l
A
B
直线:没有端点,向两方限延伸,不可度量。有两种表示方法直线AB(BA),直线l。
(3)两点之间,线段最短。
经过两点有且只有一条直线。
(4)线段长短的比较
1)度量法
2)叠合法,就是把其中一条线段移到另一条线段上,使其一个端点重合,然后去加以比较。
(5)画一条线段等于已知线段。
已知:线段MN,
求作:一条线段AC,使AC=MN。
做法:1)画一条射线AB
2)用圆规量出线段MN的长
3)在射线AB上截取AC=MN,则线段AC就是要画的线段。
(6)线段中点把一条线段分成相等的点,叫做这条线段的中点。
(1)角是由两条有公共端点的射线组成的图形。
(2)角也可以看成是有一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点,起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的中边。
【注】角的大小只与开口大小有关,与角的边的长短无关。
(3)角的表示方法
1)用数字表示单独的一个角。如∠1,∠2等
2)用小写的希腊字母表示单独的一个角。如∠,∠等
3)用一个大写的英文字母表示独立(在一个顶点处只有一个角)的角。如∠O,∠A等。
4)用三个大写的英文字母表示任意一个角,但必须把表示角的顶点的字母写在中间。如∠AOB,∠BOC等。
(4)角的分类
锐角<∠<
直角∠=
钝角<∠<
平角角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边成一直线,这时所成的角叫做平角。
∠=
周角角的一条边绕着端点旋转到角的终边和始边再次重合,这时所成的角叫做周角。
(5)角的度量
1周角=1平角=。
(6)用角表示方向
一般以正北、正南为基准,向东或向西旋转的角度表示方向。例如,北偏东。
(7)角的比较
1)度量法
2)叠合法把一个角放在另一个角上,使它们的顶点重合,其中的一边也重合,并使两个角的另一边都在这一条边的同侧。
(8)画一个角等于已知的角
已知:∠AOB
求作:∠CDE=∠AOB
作法:1)画射线DE
2)以点O为圆心,以适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N。
3)以点D为圆心,以OM长为半径作弧,交DE于P。
4)以点P为圆心,以MN长为半径作弧,交前一条弧于Q。
5)经过点Q画射线DC。
则∠CDE为所求。
(9)角的平分线
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
(10)角的特殊关系
1)互为余角:两个角的和等于(直角),就说这两个角互为余角,简称互余。
互为补角::两个角的和等于(平角),就说这两个角互为补角,简称互补。
2)等角或同角的余角相等。
等角或同角的补角相等。
3)对顶角两条直线相交得到的,有公共的顶点,没有公共边的两个角。
4)对顶角相等
第五章相交线和平行线
(1)两条直线相交所构成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
若直线AB、CD互相垂直。记作“”
(2)垂线的性质
在同一平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直。
由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。简述为“垂线段最短”。
(3)点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
1
2
4
3
5
6
7
8
l
a
b
直线l截直线a、b得到八个角。
同位角:在截线l的同一侧,被截直线a、b的同一方,这样位置的一对角叫做同位角。如∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8。
内错角:在截线l的两侧,被截直线a、b的内部,这样位置的一对角叫做内错角。如∠5与∠3,∠6与∠4。
同旁内角:在截线l的同一侧,被截直线a、b的内部,这样位置的一对角叫做同旁内角。如∠3与∠6,∠4与∠5。
(1)在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。若直线a与直线b互相平行,记作“//b”。
【注】1)在同一平面内两条直线的位置关系只有平行与相交。
2)线段、射线平行是指它们本身所在的直线平行。
(2)平行公理:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行。
推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
(3)画一条直线与已知直线平行一贴二靠三推四画
(4)平行线的判定
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
垂直于同一条直线的两条直线平行
(5)平行线的性质
两直线平行,同位角相等
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
七年级下
第六章一元一次方程
(1)方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式,方程的解不变。
方程两边都乘以或除以同一个不为零的数,方程的解不变。
(2)移项将方程的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。
(3)一元一次方程:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程。
(4)解一元一次方程的一般过程
去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1。但要灵活运用。
(5)列方程解应用题的一般思路
实际问题审题找出等量关系设未知数(分直接设法和间接设法)列方程解方程检验解得合理性
第七章一次方程组