用数学软件mathematica做微积分.doc

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上海大学2011~2012学年冬季学期课程论文
课程名称:微积分课程编号:01014106
论文题目:用数学软件mathematica做微积分
作者姓名:学号:成绩:
论文评语:
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评阅日期:
例求右极限
只需输入:
f[x_]:=ArcTan[1/x];
Limit[f[x],x®0,Direction®-1]
输出:p/2
3、自变量趋于无穷大的极限
例求极限
输入:
f[x_]:=x^2Sin[3/x^2];
Limit[f[x],x®Infinity]
输出:3
4、单向极限
例求极限
输入:
f[x_]:=ArcTan[x];
Limit[f[x],x®Infinity]
输出:π/2
例求极限
输入:
f[x_]:=ArcTan[x];
Limit[f[x],x®-Infinity]
输出:-(π/2)
5、无穷大的极限
例求极限
输入:
f[x_]:=Exp[1/x];
Limit[f[x],x®0,Direction®-1]
输出:¥正无穷
6、列表观察数列的极限
输入:f[1]=N[Sqrt[2],10];
f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]],10];
Do[Print[n,"",f[n]],{n,10}]
结果:










描点作图
二、导数
1、用定义求导数
导数的定义:或
例设,求左导数
f[x_]:=Which[x<0,x,x>=0,Sin[x]](定义分段函数)
a=0;
Direvative=Limit[(f[x+a]-f[a])/(x-a),x®a]
结果:1
2、高阶导数
例设,求二阶导数和三阶导数
二阶导数
f[x_]:=Sin[2x^2+3];
f''[x]
或D[f[x],{x,2}]
结果:
4Cos[3+2x2]-16x2Sin[3+2x2]
4Cos[3+2x2]-16x2Sin[3+2x2]
三阶导数
f[x_]:=Sin[2x^2+3];
f'''[x]
D[f[x],{x,3}]
结果:
-64x3Cos[3+2x2]-48xSin[3+2x2]
-64x3Cos[3+2x2]-48xSin[3+2x2]
三、导数的应用
1、微分中值定理
例在区间上对函数验证拉格朗日中值定理的正确性。
解即验证存在,使得
f[x_]:=4x^3-5x^2+x-2;
a=0;b=1;
Solve[f'[x]Š(f[b]-f[a])/(b-a),x]
结果为{{x®1/12(5-)},{x®1/12(5+)}}得到两个解
并判断这两个解是否在(0,1)内:
0<(5-Sqrt[13])/12<1
0<(5+Sqrt[13])/12<1
结果:
True
True这两个解都在在(0,1)内
2、切线和法线
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程:
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的法线方程:
例求在处的切线和法线方程
f[x_]:=x^2
x0=1;
y-f[x0]==f'[x0](x-x0)(切线)
y-f[x0]Š-(1/f'[x0])(x-x0)(法线)
结果:
-1+yŠ2(-1+x)
-1+yŠ(1-x)/2
例求在处的切线和法线方程,并作图
f[x_]:=Sin[x]
x0=1;
y==f[x0]+f'[x0](x-x0)
y==-f[x0]-(1/f'[x0])(x-x0)
Plot[{f[x],f[x0]+f'[x0](x-x0),f[x0]+-(1/f'[x0])(x-x0)},{x,-3,3},AspectRatio®Automatic,PlotRange®{-2,3}]
结果:
yŠ(-1+x)Cos[1]+Sin[1]
yŠ-(-1+x)Sec[1]-Sin[1]
四、积分
1、不定积分
求不定积分(原函数)
例求函数的原函数
f[x_]:=x^2+Sin[x]+1;
Integrate[f[x],x]
结果:
x+x3/3-Cos[x]
例求不定积分:
f[x_]:=xArcTan[x];
Integrate[f[x],x]
结果:
-(x/2)+ArcTan[x]/2+1/2x2ArcTan[x]
2、定积分
牛顿-莱布尼茨公式:
例求函数的定积分:
f[x_]:=x^2+Sin[x]+1;
Integrate[f[x],{x,0,1}]
结果:
7/3-Cos[1]
例求定积分:
f[x_]:=1/Sqrt[1-x^2];
Integrate[f[x],{x,0,1/2}]
结果:p/6
3、广义积分
例求广义积分:
f[x_]:=xExp[-2x];
Integrate[f[x],{x,0,Infinity}]
结果:
1/4积分变限函数的导数
例求导数:
f[x_]:=xExp[-x]
F[x_]:=Integrate[f[t],{t,Log[x],x^2}];
D[F[x],x]
D[F[x],x]//Simplify
结果:
1/x2-2x+2x(1+x2)-(1+Log[x])/x2
2x3-Log[x]/x2
五、定积分的几何应用
1、面积
曲线和轴之间的曲边梯形的面积为:
例求曲线与x所围成的图形的面积,并作图
f[x_]:=x^3-2x
Plot[f[x],{x,-2,2},PlotStyle®Red,Filling®Axis]
Solve[f[x]Š0,x]
交点坐标:
{{x®0},{x®-},{x®}}
{{x®0},{x®-},{x®}}
A=Integrate[Abs[f[x]],{x,-Sqrt[2],Sqrt[2]}]
面积:2
结论:设,则曲线和之间的图形的面积为:
旋转体体积
曲线和轴之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积为:
(圆片法)
例(圆片法)求曲线()与x所围成的图形绕x轴的旋转体体积,并作图
f[x_]:=Sin[x]
Plot[f[x],{x,0,2},PlotStyle®{Red,Thickness[]},Filling->Axis]
V=PiIntegrate[f[x]^2,{x,0,2}]体积
体积:(1-Sin[4]/4)
f[x_]:=Sin[x]
r1=Plot[f[x],{x,0,2},PlotStyle®Red,Filling®Axis];
r2=Plot[-f[x],{x,0,2},PlotStyle®Red,Filling®Axis];
r3=ParametricPlot[{2+[t],Sin[2]Sin[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle®Red];
Show[r1,r2,r3,PlotRange®All,AspectRatio®1](下图)
3、弧长
曲线()的弧长为:
例曲线的弧长,并作图
f[x_]:=x^2
A=Plot[f[x],{x,-1,3}];
B=Plot[f[x],{x,1,2},PlotStyle®{Red,Thickness[]}];
Show[A,B]
s=Integrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,1,2}]解析解
s=N[Integrate[Sqrt[1+f'[x]^2],{x,1,2}]]数值解