文档介绍：该【上海数学高一知识点总结 】是由【guoxiachuanyue009】上传分享，文档一共【16】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【上海数学高一知识点总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。集合与函数概念
(1)集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法
ZRQNNn?表示实数集•表示有理数集,表示正整数集,表示整数集,或表示自然数集,?(3)集合与元素间的关系a?Ma?MaM,两者必居其一•的关系是对象与集合,或者(4)集合的表示法
自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
xxx为集合的代表元素•,其中|具有的性质}③描述法:{④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合
(5)集合的分类
9
含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集•③不含有任何元素的集合?).(叫做空集(6)
子集、真子集、集合相等
名称
记号
意义
性质
示意图
子集
(或B?A)
r-hiVi/T市+加円A~T
或
中的仕兀素都厲A于
B
?A⑴AA??⑵A?BB?CA?C⑶若且,则
a?bb?Aa?b且⑷若,则
真子集
?AB??B(或
BA?中至少B且,有-
A??)(1(A为非空子集)?ABB?CA?C?若⑵
A)?
元素不属于A
且,则???.
集合相
等
A中的任一元素都属于
B,B中的任一元素A都属于
?B⑴A?(2)BA
212入1)?戸(戸.*?2?1个子集,它有(7)已知集合个元素,则它有有个非空子集,个真子集,它有22„?它有非空真
子集.
(8)交集、并集、补集
名称
记号
意义
性质假真真真真
示意图
交集
,{x|x?A且x?B}
AiA?A)(1AI???)(2AB?Ai(3)假真假假真
真真假真假
假
并集
,A|x?{x或x?B}
AuA?A(1)AU??A(2)AB?AU(3)假假假真
补集
()21?eAUAuA)(e??iAUU
简单逻辑用语
1、命题:用语言、符号或式子表达的,::判断为假的语句.
pqpq称为命题的结论•”形式的命题中的称为命题的条件2、“若,,则pqqp”"若,则,则”逆命题:原命题:3、“若?p?q?q?p”逆否命题:“若否命题:"若,则,则”4、四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
pqqpq?,充分条件的是,则、若5.
pqq?p的充要条件若(充分必要条件)是.,则
A?B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;利用集合间的包含关系:例如:若若A=B,则A是B的充要条件;
p?qp?qorand;:命题形式;⑵或((6、逻辑联结词:⑴且):命题形式)?Pnot:命题形式
?”表示“任意一个”等,用"7、⑴全称量词——"所有的”、??x?M,?p(x)p?x?M,(x)ppp。全称命题::;全称命题的否定?”表示;“至少有一个”等,用“⑵存在量词——“存在一个”、?x?M,p(x)?x?M,?p(x)?ppp;:;特称命题:特称命题的否定【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
(1)含绝对值的不等式的解法
不等式
解集
x|x??ax?a}或.
ax?b|x|?a个整把体化成看成lxl?a(a?O)型不等
式来求解
(2)一元二次不等式的解法
判别式函数的
定义性质在这个区间上是
减函数....象下降为减)
(4)利用复合函数
图象
判定方法
二次函数
2?bx?cax(a?0)y?的图象如果对于属于定义域区间上的任意两个自变量的X,当值X、21),那么就说f(x)<f(x
内某个I时,都有<
XX12...f(X)
((单调性
)利用定义1)利用
已知函数的2
—元二次方程
20)?0(aax??bx?c的根
21在这个区间上是
?4acb??bx?2a?xx)
21,2丿
(其中21增函数••…
(某个区间图
无实根3)利用函数图象(在象上升为增)
2?bx?c?0(axa?0)的解集
函数的单调性
{x|x?xx?x}或21
(((
4)利用复合函数1)利用定义2)利用已知函数的
2?bx?c?0(a?0)ax的解集如
果对于属于定义域区间上的
任意两个自变量的X,当、值
X21有f(X)>f(X]
内某个I时,都<
XX12...f(X),那么就说)2.
单调性(某个区间图
3)利用函数图象(在
〗函数及其表示
函数的概念
xBBAAf在集合中任何一个数、,是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合①设ABABf(x)f和它对应,)中都有唯一确定的数,以及的对应法则那么这样的对应(包括集合到ABf:A?B•到叫做集合的一个函数,记作
函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.
)区间的概念及表示法2(.
a?x?bba?x[a,b]ba,;满足是两个实数,且的实数的集合叫做闭区间,记做,满足①设
a?x?ba?x?ba?x?bxx)b(a,的,或的实数;满足的集合叫做开区间,记做的实数
xb?,x,x?b?ax?a,x],b)(a,[ab的集,集合叫做半开半闭区间,分别记做的实数;满足)b],(??,b),([a,??),(a,????,}ba?x?{x|)b(a,,而后者必须与区间可以大于或等于,前者注意:对于集合
a?b
求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
f(x)是整式时,定义域是全体实数.①f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.②f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.③④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.
?xtany?()?z?k?x?k中,⑤•一2⑥零(负)指数幕的底数不能为零.
f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数⑦[g(x)]]axf()[,b其复合函数若已知一般步骤是:,的定义域为⑧对于求复合函数定义域问题g(x)a??⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.
⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.
求函数的值域或最值
,如果在函数的值域中存在一个
最小(大)数,这个数就是函数的最小(大),其实质是相同的,:
观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值
域或
最值.
xy)(xy?f的二次方程可以化成一个系数含有③判别式法:若函数的关于2?b(y)x?cya()x(y)?0a(y)?0x,y为实数,故必须有,则在时,由于2(y)?4a(y)?c(y)??b?0,从而确定函数的值域或最值.
不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.
换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.
反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.
数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.
函数的单调性法.
函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.
解析法:::就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
映射的概念
ABABf中都是两个集合,如果按照某种对应法则中任何一个元素,在集合①设,对于集合、ABABAf的对应法则,以及那么这样的对应(包括集合到有唯一的元素和它对应,)叫做集合Bf:A?B•到的映射,记作baBAB?ba?A,对应,那么我们把元素和元素②给定一个集合到集合的映射,且•如果元素aabb的原象•叫做元素的象,元素叫做元素.
〖〗函数的基本性质
(1)函数的单调性
①定义及判定方法.
在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.
y?f[g(x)]u?g(x)u?g(x))y?f(u为增,则,若为增,,令③对于复合函数yy?f(u)u?g(xy?f[g(x)])为减为,减,为增;若则y?f(u)u?g(x)y?gy?f[(x)]f[g(x)]为减;为增,为增;若为减,则u?g(x)y?f[g(x)])(?yfu为减•若为减,为增,则ox
a()(0)??xa?xf)打"V,,函数(2的图象与性质xa,???0))??,?[a][a,()xf((°,a]
,分别在、、分别在(3)最大(小)值定义
x?lMl)(xy?f,都有满足:(的定义域为1①一般地,设函数,如果存在实数)对于任意的f(x)?M;
x?If(x)?Mf(x)M)存在(2,使得是函数•那么,我们称的最大值,记作
00f(x)?M•maxX?Iml)y?f(X,都有)对于任意的,如果存在实数1满足:②一般地,设函数(的定义域为
mI?xm?x)f(f(x)f(x)?m;是函数,使得)存在(,我们称的最小值,记作00f(x)?m•max(4)函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义判定方法图象质性)利用定义(要先(1如果对于函数f(X)定义域内判断定义域是否关于-f(-x)=x任意一
个,都有原点对称)奇函f(x),那么函数叫做f(x)……数•)利用图象(图象2(.
函数的奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内f(都X任意一个,有-…
关于原点对称))利用定义(要先1(判断定义域是否关于
偶那么函数f(X)X)=,f(X)叫
做函数…
原点对称))利用图象图象(2轴对称)y关于
x?Of(O)?O)(xf•处有定义,则为奇函数,且在②若函数yy轴两侧相对称的区间增减性相反.③奇函数在轴两
侧相对称的区间增减性相同,偶函数在④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.
〖补充知识〗函数的图象
(1)作图
利用描点法作图:
确定函数的定义域;②化解函数解析式;
讨论函数的性质(奇偶性、单调性);④画出函数的图象.
利用基本函数图象的变换作图:
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.
①平移变换
伸缩变换
对称变换
(2)识图
对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题
.
)1基本初等函数第二章(〖〗指数函数.
(1)根式的概念
,”lnXannN?n?a?Rn?ax?Rx①如果是奇数时,,那么的叫做,且次方根•当?■:■■'nnnanannaa次方
次方根用符号表示,负的的正的的表示;当次方根用符号是偶数时,正数•'nnana?°;负数表示;°的;’円河乖②式子为任意实数;当叫做根式,这里叫做被开方数•当叫做根指数,为奇数
时,a?0n•为偶数时,)—nnnnnna?aa?a:质的性③根式为偶,数时,;当当为奇数时;&
(a?0)?口/訥?1M)3??3(?(2)分数指数幕的概念
m(°,,£Nm?a??anan?l)n①正数的正分数指数幕的意义是:.°且的正分数指数?幕等于°•
mm11?m'@?°耳严??()?4(爪沁皿1)②正数的负分数指数幕的意义是:n•且°?**的负分数指数幕没有意
:底数取倒数,指数取相反数.
(3)分数指数幕的运算性质
(O,,)rsrrs?srs(a?O,r,(s?Ras)aaa???a?Ra?)r①②
()(0,0,)rrrR?a?rabb?ab?③
(4)指数函数
函数名称定义图象.
指数函数
(Ox??yaaa?l)函数且
叫做指数函数
定义域值域x?°y(O,l)?l,即当时,图象过定点过定点奇偶性非奇非偶
RR上是减函数单调性在在上是增函数函数值的
变化情况aaa越大图象越低•在第一象限内,越大图象越高;在第二象限内,变化对图象的影响
〖〗对数函数
(1)对数的定义
(0,1)xXaaNNlOgX??且aa??Na①若叫做底数,其中,则的对数,记作叫做以为底aN叫做真数.
②负数和零没有对数.
log(0,1,0)x??NN?aa?N?x?a③对数式与指数式的互化:.a(2)几个重要的对数恒等式
b1?0?logalog1?bloga,,aaa(3)常用对数与自然对数
lgNlnNe?2,7l828NloglogN,即常用对数:...)(其中;自然对数:.,即eioa?O,a?l,M?O,N?O,那么(4)
对数的运算性质如果
M)log(loglogMNN?M?log?NlogMlog?①加法:②减法:.aaaaaaN-
)log(logNlognR?M?nnMNa?③数乘:④aaNlogn)log(log0,nb1)?0,且bN?log(b?Rn?b?M?M⑤⑥
换底公式:•、aaaalOgbb)对数函数(5函数
b
对数函数
名称
lOg(0?X?yaa?1)函数定义叫做对数函数且a
图象
定义域值域x?1y?(1,0)0•时,图象过定点,即当过定点奇偶性非奇非偶
(0,??)(0,??)上是减函数在在上是增函数单调性函数值的
变化情况
,越大图象越靠低;在第四象限内,变化对图象的影响
(6)反函数的概念
?CxA(y))x??yf(x)xy?f(.中解出如,的定义域为值域为,得式子,从式子设函数?CxyA)(yx?中都有唯一确定的值和它对应,那么式中的任何一个值,通过式子,果对于在在??xy(y)y??f(x)x)?x(y?1(fx?y)的反函数,记作子表示是的函数,函数叫做函数,
1?)f(xy?习惯上改写成•7)反函数的求法()(xy?f1?)f(yx?中反解出①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式;1??1)x((y)yx?f?f③将改写成,并注明反函数的定义域•)反函数的性质(8)x?f(y1?)xy?f(x?y与反函数①原函数的图象关于直线对称•)xf(y?1?)(y?fx的定义域、值域分别是其反函数②函数的值域、定
义域.)b()pa,y?f(x1'?)?f(xp,(ba)y在原函数③若的图象上,)x?f(y要有反函数则它必须为单调函数•④一般地,函数〖〗幂函数)幕函数的定义(ixy??x?—般地,函数为自变量,叫做幕函
数,)幕函数的图象(3)幕函数的性质(图象分布:幕函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象•幂函数是偶函数时,图象分布在第①y轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称一、二象限(图象关于);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限•
(0,??)(1,1)•都有定义,并且图象都通过点②过定点:所有的幕函数在???°?°)??[o,,则幕函数,则幕函数的图象过原点并且在③单调性如果上为增函数如果xy)??(°,轴与上为减函数,在第一象限内,????p,q为偶数时,幕函数为偶函数•当为奇数时,幕函数为奇函数,当④奇偶性:当互(其旷PqqPPqZq?—
-ppqpy?y?xx则为奇数为奇数时,,)质,若和则若为偶数时,为奇数是奇函数,qPq-py?x为奇数时,则为偶数是偶函数,若是非奇非偶函数.
yx,x(0,)???1O?x?1????y?x⑤图象特征:幕函数下方,若时,若,当,其图象在直线??1x?x?1110?x?x?xy?y,时,若上方,当,其图象在直线上方,若,其图象在直线y?
补充知识〗二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
22?k(a?0)a(x?h)a?bx?c(?0)f(x)??f(x)ax①一般式:③两根式:②顶点式:f(x)?a(x?x)(x?x)(a?0)(2)求二次函数解析式的方法21①已知三个点坐标时,宜用—般式.
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,(x)更方便•轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求③若已知抛物线与
(3)二次函数图象的性质
b20)?(a?bx?f(x)?axc,??x①二次函数顶点坐标是的图象是一条抛物线,对称轴方程为,
2a2bac?b4(?,).1■2a4abbb0a?](,[?,??)x?????函数在抛物线开口向上,时,②当当在时,
上递增,上递减,「,.2a2a2a2b?4acbba?0?)(fx(,][???)??,?时,抛物线开口向下,函数在上上
递增,在;当「「-mina4aa222b?4acbf(x)??x?递减,当时,」'
a4a2.
max22X0)?c()?axa?bx?f(x0ac??4??b③二次函数轴有两个交点时,图象与当
??|?|xxx,O),|MM|?M(x,O),M(」21122112|a|2?bx?c?ax°(a?°))—元二次方程(4根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.
2X,xx?x0)??0(axa?bx?c设一元二次方程•令,且的两实根为2121b2acbx)x?ax??f(??x从以下四个
方面来分析此类问题:①开口方向:②对称轴位置:,2a?③判别式:④端点函数值符号.
?xxk①<s21?kxx<②<21?afkxkx)<<。③“2l?kxxks④<<2112??xxkxxfkffkkk并同
时考虑()=0))()满足(<)0,<⑤有且仅有一个根(或(或121112122fk)=0这两种情况是否也符合(或2?pxxkpk<
⑥<<<<221112此结论可直接由⑤推出.
2?bx?c(a?0)f(x)?ax[p,q])二次函数5(上的最值在闭区间
1mM]p,qf(x)[(p?q)x?,令设,?Oa时(开口向上)(1)当
bbbb?p?q??)??f??(?qmp)fm?(p①若③若,则,则②若,则2a2a2a2am?f(q)
ffff
bb?x??x?M?f(q)(p)M?f①若②,则,则—一oo2a2a
bb?x??x?M?f(q)(p)M?f①若②,则,则—一oo2a2a
fO?a))当时(开口向下(□fbbbbOXq??p??q?M?f(?p)??)pM?f(①若,则,则③若,则②若—a22aa22aOxff)(qM?f
bb?x??x?M?f(q)(p)M?f①若②,则,则—一oo2a2a
bb?x??x?M?f(q)(p)M?f①若②,则,则—一oo2a2a
bbfx????x)(p)m?fm?f(q①若,则②,
一、方程的根与函数的零点
OxOy?(x)?D)f?Of(x)(xxX成立的实数、函数零点的概念:对于函数叫做函数,把使if)Dx??yf(x)(f的零点。
y?f(x)f(x)?Oy?f(x)的函数零点的意义:亦即函数函数的零点就是方程实数根,2、x轴交点的横坐标。即:图象与??y?f(x)y?f(x)f(x)?Ox有零点•函数的图象与轴有交点方程有实数根函数3、函数零点的求法:y?f(x)的零点:求函数f(x)?Oi(代数法)求方程。的实数根;)xf(y?2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数。的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
(0)2?aax?bx?cy?二次函数.
02?c?axbx?x!)△>0,方程轴有两个交点,二次有两不等实根,二次函数的图象与函数有两个零
?bx?c?axx?)△=0,方程轴有一个交有两相等实根(二重根),二次函数的图象与点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
02?c?bxax?x3)^<0,方程轴无交点,二次函数无零点•无实根,二次函数的图象与
三角函数
??
••
??x终边落在第几象限,则称的顶点与原点重合,角的始边与为第几象限角•轴的非负半轴重合,角2、ooo???,360k?k?36090???k?第一象限角的集合为
??
oooo???360,?180k?360?90k?k?第二象限角的集合为
??
oooo????,?270360?180?k?k?360k?第三象限角的集合为
??
oooo???k?360???k?360,?k?360270第四象限角的集合为
??
••
Xo?????180,k?k轴上的角的集合为终边在
??
••
yoo???,k?180k?90??轴上的角的集合为终边在