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分数乘法
(一)、分数乘法的计算法则:1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。
(整数和分母约分)2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。注意:当带分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行计算。
(二)、规律:(乘法中比较大小时)一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数。一个数(0除外)乘小于1的数(0除外),积小于这个数。一个数(0除外)乘1,积等于这个数。
三)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。
四)、整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用
乘法交换律:
乘法分配律:(a+b)Xc=a
乘法结合律:(aXb)Xc=aX(bXc)
c+bc或ac+bc=(a+b)Xc
二、分数乘法的解决问题
(已知单位“1”的量(用乘法),
求单位“1”的几分之几是多少)
1、
找单位“1”在分率句中分率的前面;
或“占”、“是”、“比”的后面
2、
求一个数的几倍:一个数X几倍;
求一个数的几分之几是多少:一个数X几。
几
3、
写数量关系式技巧:
(1)“的”相当于“X”“占”、“是”、“比”相当于“=”
(2)分率前是“的”:单位“1”的量X分率二分率对应量
(3)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量X(1分率)二分率对应量三、倒数1、倒数的意义:乘积是1的两个数互为倒数。
强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。(要说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法:(1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。(2)、求整数的倒数:把整数看做分母是1的分数,再交换分子分母的位置。(3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。(
4)、求小数的倒数:把小数化为分数,再求倒数。
3、1的倒数是1;0没有倒数。因为1X1=1;0乘任何数都得0,1(分母不能为0)4、
对于任意数a(a丰0),它的倒数为-;非零整数a的倒数为-;分数纟的倒数是纟;5、真分aaab
数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
分数除法
1、分数除法的意义:分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算。
2、分数除法的计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
3、规律(分数除法比较大小时):(1)、当除数大于1,商小于被除数;(2)、当除数小于1
(不等于0),商大于被除数;(3)、当除数等于1,商等于被除数。“[]”叫做中括号。
一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的。二、分数除法解决问题
(未知单位“1”的量(用除法):已知单位“1”的几分之几是多少,求单位“1”的量。)
1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”单位“1”的量X分率二分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量X(1土分率)二分率对应量
2、解法:(建议:最好用方程解答)
(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程解答。
(2)算术(用除法):分率对应量*对应分率=单位“1”的量
3、求一个数是另一个数的几分之几:就一个数♦另一个数
4、求一个数比另一个数多(少)几分之几:
①求多几分之几:大数一小数-1②求少几分之几:1-小数一大数
或①求多几分之几(大数-小数)十小数②求少几分之几:(大数-小数)♦大数
比和比的应用
(一)、比的意义1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除
以后项所得的商,叫做比值。
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
3
例如15:10=15^10=3(比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示)
2
••••
・・・・
前项比号后项比值
3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。
例:路程F速度二时间。
4、区分比和比值:
{
比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。
比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。
6、比和除法、分数的联系:
比
前项
比号“”
后项
比值
除法
被除数
除号“F”
除数
商
分数
分子
分数线“一”
分母
分数值
7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关系。
8、根据比与除法、分数的关系,可以理解比的后项不能为0。
体育比赛中出现两队的分是2:0等,这只是一种记分的形式,不表示两个数相除的关系
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系:
广商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
V分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外),分数值不变。
.比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整数比。
3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
4、化简比:①用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
(1②两个分数的比:用前项后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法来
③两个小数的比:向右移动小数点的位置,先化成整数比再化简。
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
如:
15:10=15F10=
:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。
1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7•在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的£。用字母表示为:d
=2r或r=d
2
8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴
对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)
9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有:角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有2条对称轴的图形是:长方形
只有3条对称轴的图形是:等边三角形只有4条对称轴的图形是:正方形;有无数条对称轴的图形是:圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
2、圆周率实验:在圆形纸片上做个记号,与直尺0刻度对齐,在直尺上滚动一周,求出圆的
周长。发现一般规律,就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(n。
3、圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字母n(pai)表示。
、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率n是一个无限不循环小数。在计算时,。
、在判断时,圆周长与它直径的比值是n倍,。(3)、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
4、圆的周长公式:C=nd1二*d=CFn
或C=2nr':二::-r=CF2n或r=CFnF2
5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长:
周长的一半:等于圆的周长F2计算方法:2nrF2即nr
半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:nr+2r
三、圆的面积
1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母S表示。
2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。
3、圆面积公式的推导:
、用逐渐逼近的转化思想:体现化圆为方,化曲为直;化新为旧,化未知为已知,化复
杂为简单,化抽象为具体。
、把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图像越接近长方形。
、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
长方形的宽
圆的半径
圆的周长的一半
长方形的长
因为:
所以:
长方形面积
圆的面积
V
圆周长的一半X
圆的半径
圆的面积公式:4、环形的面积:
一个环形,外圆的半径是R,内圆的半径是r。(R=r+环的宽度.)
S=nR2—nr2或
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
环
环形的面积公式:S=n(R2-r2)o
5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如:在同一个圆里,半径扩大3倍,那么直径和周长就都扩大3倍,而面积扩大9倍。
6、两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:
两个圆的半径比是2:3,那么这两个圆的直径比和周长比都是2:3,而面积比是4:9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4:n
8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方形面积最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆周长最短。
9、确定起跑线:
、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
、每条跑道直道的长度都相等,而各圆周长决定每条跑道的总长度。(因此起跑线不同)
、每相邻两个跑道相隔的距离是:2XnX跑道的宽度
、当一个圆的半径增加d厘米时,它的周长就增加2na厘米;当一个圆的直径增加d
厘米时,它的周长就增加nd厘米。
10、常用各n值结果:
n=
5n=
9n
=
36n
=
2n=
6n=
10n
=
64n
=
3n=
7n=
16n
=
32n
=
4n=
8n=
25n
=
11、常用平方数结果
112=121
122=144
132=169
142=196152=225
162=256
172=289
182=324
192=361
百分数
一、百分数的意义和写法1、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数的比,因此也叫百分率或百分比。
2、百分数和分数的主要联系与区别:
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
(1)联系:都可以表示两个量的倍比关系。
(2)区别:①、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量,所以不能带单位;
分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具本数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不能是小数,只能是除0以外的自然数。
4、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化:1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
百分数化成小数:把小数点向左移动两位,同时去掉百分号。
(二)百分数的和分数的互化1、百分数化成分数:先把百分数化成分数,先把百分数改写
成分母是否100的分数,能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数:①用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数,再写成百分数形式。②先把分数化成小数
(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百分数。
(三)常见的分数与小数、百分数之间的互化
1
1
5
==50%
-==20%
==%
2
5
8
1==25%
-==40%
1==%
4
5
8
3
==75%
3
==60%
3
==%
4
5
8
—==%
4
-==80%
7
==%
16
5
8
12
==4%
3
==8%==12%
4
==16%
2525
25
25
三、用百分数解决问题
一)一般应用题
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
1、常见的百分率的计算方法:
①合格率
合格产品数
产品总数
X100%
②发芽率=
发芽种子数
种子总数
X100%
③出勤率=出勤人数x100%总人数
④达标率
达标学生人数
学生总人数
X100%
⑤成活率=
成活的数量
总数量
X100%
⑥出粉率=
粉的重量
出粉物的重量
X100%
⑦烘干率
烘干后的重量
烘干前的重量
X100%
⑧含水率=
烘干前的重量-烘干后的重量
烘干前的重量
X100%
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%,出米率、出油率达不到100%,完成率、增长了百分之几等可以超过100%。(一般出粉率在70、80%,出油率在30、40%。)
2、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题:数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同:
(1)分率前是“的”单位“1”的量X分率二分率对应量
(2)分率前是“多或少”的意思:单位“1”的量X(1土分率)二分率对应量
3、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1”。
解法:(建议:最好用方程解答)(1)方程:根据数量关系式设未知量为X,用方程
解答。
(2)算术(用除法)分率对应量宁对应分率=单位“1”的量
4、求一个数比另一个数多(少)百分之几的问题:
两个数的相差量一单位“1”的量X100%或:
①求多百分之几:(大数-小数)一小数X100%②求少百分之几:(大数-小数)
♦大数X100%
一、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间的关系,也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比图)。
二、常用统计图的优点:
1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化情况。
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。
三、扇形的面积大小:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角
越大,扇形越大。(因此扇形面积占圆面积的百分比,同时也是该扇形圆心角度数占圆周
角度数的百分比。)
常用单位换算
长度单位换算:1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米
面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米
体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米
=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
重量单位换算1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天,闰年2月29天平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时
S=aXa=a
1时=60分1分=60秒1时=3600秒小学平面图形的面积公式:
平行四边形的面积=底乂高
S=ah
二角形的面积=底乂咼丁2S=—ah
2
梯形的面积=(上底+下底)
X咼F2
S=1(a+b)h
2
长方形的面积=长乂宽S=ab
正方形的面积=边长X边长
圆的面积=圆周长的一半X圆的半径=nrXrS圆=nr2
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。
环形的面积公式:S环…R—r
或S环=n(R2-r2)o
2)用求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。