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ControlandDecision
ISSN1001-0920,CN21-1124/TP
《控制与决策》网络首发论文
题目:切换拓扑下群系统保性能编队形成问题优化控制方法
作者:王琳,张庆杰,陈宏伟
DOI:.
收稿日期:2022-04-08
网络首发日期:2022-08-01
引用格式:王琳,张庆杰,
法[J/OL].:///
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发论文视为正式出版。
网络首发时间:2022-08-0110:57:07
网络首发地址:.
控制与决策
ControlandDecision
切换拓扑下群系统保性能编队形成问题优化控制方法
王琳1,张庆杰1†,陈宏伟1
(,长春130022)
摘要:针对群系统编队形成问题,,建立保性能编队形成问
题的数学描述,,通过变量代换,给出群系统实现时变编队的充分条件,借助李雅普诺夫
,通过求解线性矩阵不等式,设计编队控制器,给出群系统性能上界值的数学表达形
,仿真实验验证了控制方法的有效性.
关键词:群系统;编队形成;一致性;保性能;切换拓扑
中图分类号:V249文献标志码:A
DOI:.
引用格式:王琳,张庆杰,[J].控制与决策.
OptimalControlMethodforSwarmSystemsFormationAchievement
ProblemwithGuaranteed-PerformanceandSwitchingTopologies
WANGLin1,ZHANGQing-jie1†,CHENHong-wei1
(,Changchun130022,China)
Abstract:Fortheformationachievementproblemforswarmsystems,anoptimalcontrolmethodwith
guaranteed-,establishthemathematicaldescriptionofthe
formationachievementproblemwithguaranteed-,
sufficientconditionsforswarmsystemswithtime-varyingformationareobtainedbyvariablesubstitutionandthe
,theformationcontrollerisdesignedby
solvingthelinearmatrixinequality,andthemathematicalexpressionoftheupperboundofperformanceforswarm
,anumericalsimulationisprovidedtoillustratetheeffectivenessofthecontrolmethod.
Keywords:swarmsystems;formationachievement;consensus;guaranteed-performance;switchingtopology
群系统编队控制[1-5]越来越受到学者的广泛关问题,文献[17]利用自由权矩阵方法分析系统镇定
注,并在无人机[6-7]、卫星[8-9]和机器人[10-11]等领域问题,得到了编队形成的LMI判据以及控制器增益
[13-17]的通信拓扑条件均为
价大,数学建模复杂,易单点失效导致整体瘫痪的缺理想条件,但在实际应用中,切换拓扑的情况更为常
,为编队控制问题的解决见.
[12]运用了一致性方法,解决文献[18]针对一阶积分特性模型,在所有可能
编队控制问题,该方法有效克服了传统编队控制方的拓扑集合下,设计编队控制器,解决了多智能体的
文献[13]针对大规模群系统,提出了一种有限问题,文献[19]在切换通信拓扑条件下,给出了无人
[14]运用了一致性方法,
,文献[20]针对二阶积分特性模型,
向通信拓扑,文献[15]运用领导者跟随者方法,
[16]给出了编队形成的充要拓扑和时变时延,文献[21]利用变量代换,将两个通
条件,并利用无人机飞行实验,
收稿日期:2022-04-08;录用日期:2022-07-17.
†-mail:******@.
2控制与决策
献[22]利用完全分布式控制结构,在有向切换拓扑1图论知识和相关引理
条件下,[23]
=(V,ε,W)中V是节点集合,ε是边集
在编队形成问题的基础上,文献[24]研究了时变编合,,V={ξ1,ξ2,···,ξN},ε=
N×N
[18-24]从切换拓扑结构出发,{(ξi,ξj):ξi,ξj∈V},W=[wij]∈
进行编队的分析和设计,解决问题的关键,在于如何eij=(ξi,ξj)
设计一个可行的控制协议,使得群系统各主体,形成对任意的eij∈ε都存在eji∈ε,则图G是无向图.
,不仅需要群系统能够达其它情况下,
成一致,>0,节点ξi可以接收来自节点
针对群系统形成编队过程中的性能优化问题,ξj的信息,而对i={1,2,···,N},有wii=
在编队控制基础上,通过引入性能指标函数加以解果存在一个节点ξi,可以传递信息到其它任意节点,
[25]针对一阶积分特性模型,
[26]在给定节点集合为Ni={ξj∈V:(ξj,ξi)∈ε}.定义节
∑N
的H∞性能指标下,给出了群系统实现编队H∞控
点ξi的入度degin(ξi)=wij,则图的入度矩阵为
[27]利用逆优化方法设计j=1
D=diag{deg(ξ1),deg(ξ2),···,deg(ξN)}.通
时变编队控制协议,给出群系统实现时变编队的可ininin
常用L=D−W表示图G的拉普拉斯矩阵.
行性条件,并可以保证所提出的控制协议满足LQR
[28]研究了切换拓扑条件下保性能
引理对于正定矩阵Q∈RN×N矩阵Q
一致性问题,,
的最大特征值用{λ(Q)}表示最小特征值
给定的性能函数,文献[29]研究了群系统的双向编max,
用{λ(Q)}表示则有{λ(Q)}I≤Q≤
队控制问题,得到了实现编队的同时保证性能指标min,minN
{λ(Q)}I
[30]针对多无人机系统的优maxN.
引理对于系统
化控制问题,提出一种保性能编队控制方法,但是没2{
,对于切换拓扑条x˙=f(x,t)
∀
件,研究群系统的保性能编队形成问题,具有十分重f(0,t)=0,t
:
本文主要研究了一种切换拓扑下保性能编队形(I)存在正定函数V(x,t);
:1)建立了保性(II)V˙(x,t)是负定函数.
能编队形成问题的数学描述,设计分布式控制协议则平衡状态xe=0是渐近稳定的.
框架,)通2问题描述
过引入一种分布式性能指标,
性能,)利用求考虑群系统满足如下动态特性
解线性矩阵不等式的方法,设计编队控制器,通过调˙
ξi=Aξi+Bui,i∈{1,2,···,N}(1)
整不等式中附加项参数,可实现编队形成速度和性
其中,(t)∈Rl是第i个主体的
状态,u(t)∈Rm是第i个主体的控制输入.
本文的结构为:第1部分为图论知识和相关引i
考虑群系统各主体之间通信拓扑关系会随着
,
˜={G,G,···,G},p≥2表示各
主体之间通信拓扑关系的集合,t=0<t<
队形成问题,
t<···表示拓扑关系切换时刻,t−=t−
部分通过数值仿真,验证了本文编队控制方法的可2k,k1k
t−,k=1,2,···表示某一种通信拓扑关系维持的
(t)={1,2,···,p}
>B意味着A−B是正σ(t)
应的拉普拉斯矩阵为L.
定的,A≥B意味着A−⊗B表示σ(t)
假设1G˜中所有通信拓扑关系均是无向连通
矩阵A和矩阵B的克罗内克积.
图.
王琳等:切换拓扑下群系统保性能编队形成问题优化控制方法3
TT···TT∈lN
用h(t)=[h1(t),h2(t),hN(t)]
述期望的编队队形,其中,hT(t),i∈{1,2,···,N}连ς(t)=ξ(t)−h(t)(i=1,2,···,N),ς(t)=
i[iii]
TT···TT
(t),ς2(t),,ςN(t),则群系统(5)可以转换
为了描述群系统(1)形成时变编队的调节性能,为
构建如下性能指标函数:
ς˙(t)=(IN⊗(A+BK1))ς(t)−
()
J=J1+J2L⊗BKς(t)+(I⊗A)h(t)+
∫σ(t)2N
∑N∞T
⊗−⊗˙
J1=(ξi(t)−hi(t))Q(ξi(t)−hi(t))dt(INB)v(t)(INIl)h(t)(6)
0
i=1根据定义1,如果limς(t)=0,则群系统(1)能
→∞
∑N∫∞∑t
1够形成时变编队h(t).由式(6)可知,当
J=w(ξ(t)−h(t)−(ξ(t)−
22ijjji
i=10∈˙
jNi(IN⊗A)h(t)+(IN⊗B)v(t)−(IN⊗Il)h(t)=0
T
hi(t)))Q(ξj(t)−hj(t)−(ξi(t)−hi(t)))dt(7)
其中Q为对称正定矩阵,Ni表示拓扑图G第i个节且闭环系统
()
点的邻居集合表示主体自身的性能函数表示
,J1,J2ς˙(t)=IN⊗(A+BK1)−Lσ(t)⊗BK2ς(t)(8)
主体之间的性能函数,进而可以将保性能编队形成
是渐近稳定的,则群系统(1)能够形成时变编队h(t),
问题描述如下:
由此可得式(7)和式(8)是群系统形成时变编队的充
定义1存在控制输入u(t),使得群系统(1)的
i分条件.
主体状态能够满足
注1其辅助函数v(t)的引入是为了补偿时变
lim(ξi(t)−hi(t))=0,i=1,2,···N(2)编队h(t)带来的多余项,将群系统(1)转化为闭环自
t→∞
且J<J∗成立,则称群系统(1)能够实现保性能编治系统,(t)可
队形成控制,其中J∗(7)(8)的稳定性,可
,在理论证明
中难点在于闭环系统中增益矩阵和的
基于一致性理论,考虑如下编队控制协议:,(8)K1K2
设计方法,下面定理1,不仅给出了增益矩阵的设计
ui(t)=ui1(t)+ui2(t)+ui3(t),i=1,2,···N(3)
方法,还给出了群系统性能上界值的数学表达形式.
其中,u(t)为自身反馈控制输入,u(t)为辅助函数
输入,u(t)为邻居反馈控制输入,其具体表达式如
i3定理1在假设1成立的条件下,通过构造
下:TT
K1=−BP,K2=BP,其中P是如下不等式的对
−
ui1(t)=K1(ξi(t)hi(t))称正定解
ui2(t)=vi(t)T−T
()AP+PA2λminPBBP+αP+λmaxQ<0
∑
ξj(t)−hj(t)(9)
ui3(t)=K2wij(4)
−(ξ(t)−h(t))
j∈Niii群系统(1)在编队控制协议(4)下能够实现保性能编
m
其中,(t)∈R是队形成控制,其中,λmin表示矩阵I+Lσ(t)的最小特征
,λmax表示矩阵I+Lσ(t)的最大特征值,α表示大于
3问题分析和协议设计零的常数,Q为性能指标函数中的加权阵,保性能上
∗T⊗
=ς(0)(IP)ς(0).
[]
T注2文献[27]讨论的是在给定编队控制协议
令ξ(t)=ξT(t),ξT(t),···,ξT(t),v(t)=
[12]N
TT···TT条件下的LQR最小值问题,而本文研究的是,在给定
v1(t),v2(t),,vN(t),得到群系统的闭环方
形式的性能指标条件下如何设计控制协议两
程为LQR,.
者的区别是正反两个方向求解,本文方法的优势在
˙
ξ(t)=(IN⊗(A+BK1))ξ(t)−
()于,性能指标加权阵的形式不会受到拉普拉斯矩阵
⊗⊗−
Lσ(t)BK2ξ(t)+(INB)v(t)的限制在实际应用中可根据复杂的环境灵活改变
(),,
(IN⊗BK1)h(t)+Lσ(t)⊗BK2h(t)(5)性能指标加权阵.
4控制与决策
注3讨论控制器增益矩阵的设计方法,文献由式(18)∼式(20)可得
{λ(P)}
[27]的增益矩阵通过求解Riccati方程得到,没有附∥∥2≤max−αt∥∥2
ς(t){}eς(0)(21)
加项的引入,(P)
由−α<0得ς(t)指数收敛于下面考虑保
文献[27],本文通过求解线性矩阵不等式得到增益矩,0.
性能问题由构建的性能指标函数
阵参数,因为附加项的引入,能够实现对编队形成速,
=J1+J2
∫
证明首先考虑稳定性问题,构造分段连续的∑N∞T
J1=(ξi(t)−hi(t))Q(ξi(t)−hi(t))dt
Lyapunov函数i=10
T⊗N∫∞
V=ς(t)(IP)ς(t)(10)1∑∑
J2=wij(ξj(t)−hj(t)−(ξi(t)−
其中P满足式20
,(9).i=1j∈Ni
当t∈[tk,tk+1),V是连续的,对其求导并将式T
hi(t)))Q(ξj(t)−hj(t)−(ξi(t)−hi(t)))dt
−TT
(8),K1=BP,K2=BP,代入式(10)可得(22)
(())
V˙=ςT(t)I⊗ATP+PAς(t)−
可得∫
(())∞(())
TT⊗T−T
ς(t)IN+Lσ(t)PBBPς(t)J=ς(t)I+Lσ(t)⊗Qς(t)(23)
(())0
TT
ς(t)IN+Lσ(t)⊗PBBPς(t)(11)由引理1,式(23)转换为
∫∞
由假设1,矩阵I+L是对称正定的,由引理1T
σ(t)J≤ς(t)(I⊗λmaxQ)ς(t)(24)
得0
由式(9),式(24)转换为
()T()
∫∞
IN+Lσ(t)+IN+Lσ(t)≥2λminI(12)
J<−ςT(t)(I⊗Θ)ς(t)(25)
则式(11)转换为0
(())式中T−T
˙TTTΘ=AP+PA2λminPBBP+αP.
V≤ς(t)I⊗AP+PA−2λminPBBPς(t)
由式(10)和式(13)可得
(13)
V˙+αV≤ςT(t)(I⊗Θ)ς(t)
由式(9)可得(26)
T−T由式(25)和式(26)可得
AP+PA2λminPBBP+αP<0(14)∫∞()∫∞∫∞
−˙−˙−
由式(14),式(13)转换为J<V+αVdt=VdtαVdt=
000
∫∞
˙≤−T⊗
Vας(t)(IP)ς(t)(15)V(0)−V(∞)−αVdt(27)
0
根据式(10)和式(15)可得
根据V稳定收敛于0和V的正定性,可得
−−
V(t)≤eα(ttk)V(t)(16)
kJ<V(0)=ςT(0)(I⊗P)ς(0)(28)
在切换拓扑时刻tk有
()即得到保性能上界.□
V(t)≤Vt−(17)
kk注4λmin和λmax是通过比较不同拓扑下的特
−
,详见下式:
(16)和式(17)进行迭代推理得
λmin=min{λ(I+L1),λ(I+L2),···,λ(I+Lp)}
{···}
()λmax=maxλ(I+L1),λ(I+L2),,λ(I+Lp)
−−−
≤α(ttk)
V(t)eVtk
引入λmin和λmax是为了在证明公共李雅普诺夫函数
−−−−
≤α(ttk)α(tktk−1)
eeV(tk−1)导数负定性的过程中简化求解难度,某种程度上的
−αt
≤eV(0)(18),课题组考虑采用文
由式(10),可以得到献[17、26]中的自由权矩阵方法降低保守性问题.
2注5式(9)中附加项αP的引入,使得编队形
V(0)≤max{λ(P)}∥ς(0)∥(19)
成速度得到相对量化,使得构建的李雅普诺夫函数
{}∥∥2≤
minλ(P)ς(t)V(t)(20)(13)可得,对于固定通信
拓扑,式(9)中,即使没有附加项αP和λmaxQ即矩
王琳等:切换拓扑下群系统保性能编队形成问题优化控制方法5
阵P满足:得到控制器增益矩阵,进而确定群系统的保性能上
∗
TT界值J,保证群系统在实现编队的同时,实际消耗的
AP+PA−2λminPBBP<0(29)
性能指标J低于保性能上界值J∗.
(9)
如果成立,式(29)必定成立,所以本文控制方法也适4数值仿真与分析
用于固定拓扑条件下,
为验证本文编队控制方法的有效性设置个主
注6式(9)中,附加项λmaxQ的引入,将保性能,8
上界与编队形成控制建立了联系,,每个主体由式
(1)描述,其中系数矩阵为:
下,群系统不仅形成了时变编队,还使得系统实际消
耗的性能函数值低于保性能上界值如果没有附加−−
,.1220
项λmaxQ,=001,B=0.
注7解决保性能编队形成问题的核心思路是:−2531
先考虑群系统实际消耗的性能指标,将性能指标中图1和图2分别给出了各主体之间的拓扑图和
的加权阵Q引入线性矩阵不等式,通过求解不等式,切换信号.
(a)G1(b)G2(c)G3(d)G4(e)G5
图1群系统各主体之间的通信拓扑图
式可求得:
6(9),
5−−
4P=−
(t)3−
2
各主体的初始状态分别为:
1
0x(0)=4(δ−),x(0)=3(δ−)
xi3(0)=2(δ−)(i=1,2,···,8)
图2切换信号其中,δ为(0,1)之间的随机数,设置仿真时间为30s.
定义时变编队h(t)为:
−
4cos(t+(i1)π)
图给出了个主体的状态在、、、和
hi(t)=2sin(t+(i−1)π),i=1,2,···,8381s10s20s
2cos(t+(i−1)π)(a)∼(c)分别
给出了编队形成误差在个不同方向上的差值曲线
由式(7),可以得到控制函数v(t)为:3.
()()∼
(i−1)π(i−1)π从图3图4可以看出,在初始阶段,8个主体的构型
v(t)=2cost+−12sint+
i44为不规则图形,随着时间的推移,群系统的8个主体
选取性能指标函数加权阵为3维单位阵,
α=,如果节点ξi可以接收来自节点ξj的信息,则上编队形成误差都可以趋于零,说明各主体的三个
w=1,否则w=0,根据本文所取的五种通信拓扑状态与编队相应状态的差值趋于零,这也说明群系
ij(ij)()
图,求得λminI+Lσ(t)=1,λmaxI+Lσ(t)=5,由统形成了指定的时变编队,并可以保持稳定.
6控制与决策
(a)t=1s(b)t=10s(c)t=20s(d)t=30s
图3不同时刻群系统状态演化过程
425
2
1
0
00
-2
-1
-4
-5
-6-2
051015202530051015202530051015202530
(a)x方向(b)y方向(c)z方向
图4三个不同方向上的编队形成误差
对于式(9),常数α的引入,从侧面可以反映编了主体运动过程中实际消耗的性能函数曲线,见图
队形成的速度,,群系统实际消耗的性能函数值,是通过式
、y和z三个方向上,参数α取值的(23)求解得到,然后通过曲线拟合得到函数曲线,而
不同,会影响编队形成误差收敛时间,,是通过求解李雅普诺夫函数的初值,得
为差值小于10-3时,∗=,实际消耗的性能函
随着参数α的增大,编队形成误差趋于零的时间就数曲线收敛到有界值,且低于求得的性能上界值,说
,群系统不仅实现了编队形成
表1编队形成误差收敛时间控制,还保证了实际消耗的性能函数值低于性能上
界值.
方向α=====
图6给出了8个主体在编队形成过程中的控制
,在形成编队的初始阶段,
,随着时间的推移,主体形成时变编
为验证群系统实现保性能编队形成控制,给出队且趋于稳定,控制输入保持在较小的幅度内变化.
1604000200800
1403500150
1203000100600
100250050
8020000400
601500-50
401000-100200
20500-150
00-2000
01234567802468100246810
图5实际消耗性能指标与保性能上界图6控制输入曲线图7不同方法下消耗性能指标
王琳等:切换拓扑下群系统保性能编队形成问题优化控制方法7
[16]、文献[20]缩短了17%,比文献
为便于比较和考虑到控制协议需要满足特定的[22]缩短了约71%,比文献[24]缩短了约31%,比文
拓扑条件,仿真条件设置4个二阶模型组成的群系献[33]缩短了22%.由于文献[22]的控制协议是完
统,,即结构中仅含有邻居反馈控制,不含
其中系统矩阵为:有自身反馈控制,而本文的控制协议结构,包含这两
[][]
010种反馈控制,使得编队形成速度明显提高.
A=I3⊗,B=I3⊗.
001从消耗性能指标分析,图7给出了本文方法与其
定义时变编队h(t)为:,文献[20]与文献
的曲线几乎重合是由于两者消耗的性能指标值
−[33],
4cos(t+(i1)π)
相近,,本文方法消耗的性能
−4sin(t+(i−1)π)
函数值,比文献[16]降低了约15%,比文献[20]、[33]
2sin(t+(i−1)π)
hi(t)=,i=1,2,3,4降低了约16%,比文献[24]降低了约5%.本文在设
−
2cos(t+(i1)π)
计控制协议的过程中,目的是将保性能上界与编队
2cos(t+(i−1)π)
形成控制建立了联系,进而确定系统实际消耗的性
−2sin(t+(i−1)π)
能上界值,并非降低系统实际消耗的性能值,但本文
从编队形成速度分析,表2给出了本文方法与
方法在确定性能上界值的同时,还可以在一定程度
上降低系统的性能消耗,所以本文控制方法具有一
难看出,
定的参考价值.
方向上最长的收敛时间,作为群系统的收敛时间,本
表2不同方法下编队误差收敛时间和控制参数取值
方法收敛时间控制参数取值