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比 较 法
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作差比较法证明不等式
(1)已知a,b∈R,求证:a2+b2+1>a(b+1);
(2)已知a,b是互不相等的正数,n>1,求证:an+bn>an-1b+abn-1.
分析:用作差比较法证明不等式,作差后要注意因式分解或配方,以利于判断符号.
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证明:(1)∵a2+b2+1-a(b+1)=
[(a-b)2+(1-a)2+b2+1]>0,
∴a2+b2+1>a(b+1).
(2)(an+bn)-(an-1b+abn-1)=(a-b)(an-1-bn-1).
∵a,b∈R+,n>1,n-1>0,a≠b,
∴当a>b时,an-1>bn-1,
∴a-b>0,an-1-bn-1>0,
∴(a-b)(an-1-bn-1)>0,
即an+bn>an-1b+abn-1.
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当a<b时,an-1<bn-1,
∴a-b<0,an-1-bn-1<0,
∴(a-b)(an-1-bn-1)>0,
即an+bn>an-1b+abn-1.
因此总有an+bn>an-1b+abn-1.
点评:作差比较法的一般步骤为:作差→变形(因式分解或配方)→判断符号→下结论,有时需要分类讨论.
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设a,b,c∈R+,且ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≥.
分析:要证a+b+c≥,只要证(a+b+c)2≥3,然后再用差比法.
证明:因为(a+b+c)2-3
=(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)
=a2+b2+c2-ab-bc-ca
=[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0,
所以(a+b+c)2≥3.
又a,b,c∈R+,a+b+c>0,
所以a+b+c≥.
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►变式训练
,b,c成等比数列,
求证:a2-b2+c2≥(a-b+c)2.
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>0,b>0,求证:+≥+.
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