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
旋转输流管中管结构强迫振动的格林函数解
范谨铭,常学平,陈美
,
西南石油大学机电工程学院成都610500
摘要
基于Hamilton原理建立了计入气-液双相流、轴向外载及自旋角速度影响的管中管动力学控制方程。采
,,
用格林函数法获得了系统双向耦合振动的解析解得到的四个格林函数基础解适用于各种边界条件。首先验证了此方
,,
法的可靠性然后利用系统的格林函数解分析了内流气体体积分数、双相流流速、轴向压力、弹簧刚度系数等参数对管中
,,
管系统动力学特性的影响。结果表明旋转系统在非受力向产生了响应且各参数对系统的响应有着明显的影响流速和
,
转速的共同作用使得耦合系统产生了特殊的共振带工程中需要选取远离共振带的转速与流速以避免失稳与破坏。
关键词格林函数法管中管结构旋转管双相流强迫振动拉普拉斯变换
.
Green’sfunctionsolutiontoforcedvibrationofpipe-in-pinestructureinrotatingflowpipe
,,
FANJinmingCHANGXuepingCHENMei
,,,
SchoolofMechatronicEngineeringSouthwestPetroleumUniversityChengdu610500China
,,
AbstractHerebasedonHamiltonprinciplegoverningdynamicequationsofapipe-in-pipesystemconsidering
,
effectsofgas-liquidtwo-’sfunction
,,
methodtheanalyticalsolutionstotwo-waycoupledvibrationofthesystemwereobtainedand4obtainedbasicsolutions
,,
ofGreen’
,,
theneffectsofinternalflowgasvolumefractiontwo-phaseflowvelocityaxialpressureandspringstiffnesscoefficienton
dynamiccharacteristicsofthepipe-in-pipesystemwereanalyzedbyusingGreen’
,
resultsshowedthattherotatingsystemrespondsinnon-loaddirectionanditsparametershaveobviouseffectsonthe
system’sresponsethecombinedactionofflowvelocityandrotatingspeedmakesthecoupledsystemproducespecial
,
resonancebandsinengineeringitisnecessarytochooserotatingspeedandflowvelocityfarawayfromtheresonance
bandstoavoidinstabilityanddamage.
KeywordsGreen’sfunctionpipe-in-pipestructurerotatingpipetwo-phaseflowforcedvibrationLaplace
transform
,
输流管结构在航空航天、石油工业、海洋工程等领分-微分方程组的研究并用数值方法求解。赵千里
[]
域有着广泛的应用,在内流的作用下会使得结构发生等7利用伽辽金法研究了层流模型和平推流模型对输
流固耦合振动,容易引起结构失效作为最为典型的
。流管系统固有频率及临界流速的影响。应用一种改进
流固耦合结构,输流管系统的自由振动与强迫振动问傅里叶级数方法,不同边界的梁模型与输流管系统的
[]
题引起众多学者的关注1-4,
。横向振动问题被进行了研究且该方法具有收敛快、精
[]
等5将微分变换法推广至几种典型边界条件下[][]
Ni度高的特点8-10。Lannes等11通过试验研究了内流为
输流管道的自由振动问题,将得到的系统固有频率和双相流时输流管的强迫振动问题,并且讨论了含气率
临界流速与微分求积法的结果进行了比较,验证了方
与系统响应的关系。
,
法的可靠性。基于挠度的多项式逼近Khudayarov然而,工业中的输流管结构往往是更加复杂的,例
[]
等6将含脉动内流的流致振动问题归结为一个常积
如旋转输流管结构、管中管结构等。这些耦合系统的
动力学特性受到诸多因素的干扰,研究难度会大大增
基金项目国家自然科学基金项目
51674216加因此针对非常规输流管结构的研究成为近些年的

收稿日期2021-03-04修改稿收到日期2021-05-12
,,热点
第一作者范谨铭男硕士1995年生。
[]
通信作者常学平男,博士,副教授,年生等12以两端简支的双壁碳纳米管为例,研究
1978Wang
18振动与冲击2022年第41卷
,,,,
了各参数对结构稳定性的影响发现内外管间材料的面内外管受到指向y方向的均布载荷Pzt的作用
[]
弹性系数对临界流速有着显著的影响等13对管同时内管和外管绕轴匀速转动,转速均为
。BizΩ。
中管结构的减振功能进行了验证,发现该结构在控制
各种因素引起的海底管道的振动方面有很大的潜力。
旋转输流管在旋转运动和流固耦合陀螺效应的综合影
[][]
,1415
响下可以被视为双陀螺系统。Lian等建立了水
,
平井非线性钻柱的动力学理论模型讨论了旋转速度、
[]
钻压频率等因素对系统的影响。Chang等16研究了气
体钻井中钻柱在气体结构相互作用下的振动特性,发
现气体钻井钻柱的固有频率比泥浆钻井钻柱的高
。图1含双相流的旋转PIP系统的力学模型
在求解输流管模型的动力学问题时,
是一种极为方便的方法,此方法不仅可以得到系统闭two-phaseflow
[]
合形式的响应解,也可被用来研究系统的频率问题17

[]
等18采用格林函数法给出了具有不同边界条件的
Li用i、j、k分别表示沿着x轴、y轴和z轴的单位矢
输流管道受迫振动的格林函数解,并通过三个算例验,
量则内管和外管上某一点的位移矢量r、r的表达
[]io
证了方法的有效性。Zhao等19将该方法应用于输流式为
曲管中,研究了不同参数对系统切向位移和径向位移
ri=u1+xi+u2+yj+uz1+zk
1
的影响。借助双参数地基上输油管道强迫振动的格林}
[]ro=u3+xi+u4+yj+uz2+zk
,20
函数Li等讨论了边界弹簧系数对输流管系统稳定式中表示内管任一点在方向和方向的位
u1、u2xy
性的影响,结果表明系统的自振频率和临界流速与边移为外管上任一点在方向和方向的位移
u3、u4xy
界条件有很大的关系。分别表示内外管在方向的位移
uz1、uz2z。
综上所述,格林函数法的突出优点是能够获得系因此内管与外管上任意一点的速度矢量表示为
统强迫振动响应的解析解,具有极高的精确性和可靠
r
性但尚未有学者得到旋转管中管耦合系统强v=i+Ωk×r
。PIPiti
迫振动的格林函数解因此本文建立了输送双相内流2
。r}
o
的旋转管中管结构横向强迫振动的控制方程,并vo=+Ωk×ro
PIPt
,
依次采用分离变量法、Laplace变换和Laplace逆变换得在当前的研究中不考虑内部双相流随系统的转
,
到系统的格林函数。对模型的控制方程进行解耦将会动因此液相和气相的速度矢量形式为
得到单管模型旋转管道模型及无旋转管中管结构的
、u1u1u2u2
vL=(+U)i+(+U)j+ULk
格林函数在数值讨论部分,首先验证本文方法的可tLztLz
。3
靠性,然后以悬臂结构为例,研究不同参数对格林函数uuuu}
1122
vG=(+U)i+(+U)j+UGk
的影响,研究结果为旋转管中管结构的动力学设计提tGztGz
供了理论依据旋转管中管系统的动能由内管的动能外管的
。T1、
动能液相的动能及气相的动能组成,它们的
T2、T3T4
1旋转PIP系统控制方程的建立表达式分别为
图为输运气液双相流的旋转系统的力学L1
1-PIPT1=mivi·vidz=
,∫02
模型由长度均为L的外管、内管以及两管之间的保温
1Lu2u2
层组成内管中含有水平流动的双相流,分别m[(1)+(2)]dz4a
。UL、UGi-Ωu2+Ωu1
2∫0
表示液相流速和气相流速根据力学性能将保温层简tt
。L
,1
化为沿着管长方向分布的弹簧阻尼系统且刚度系数T2=movo·vodz=
∫02
为,阻尼系数为为了便于识别,角标被用来
KC。i、o1Lu2u2
,m[(3)+(4)]dz4b
区分内管和外管的参数内管的内外径分别为o-Ωu4+Ωu3
。di、Di2∫0tt
外管的内外径分别为在系统的左侧给出了系2
do、Do。LL
11u1u1
统的坐标系,其中为原点坐标,代表轴向方向,和T3=mLvL·vLdz=mL[()+
+UL
Ozx∫022∫0tz
表示两个垂直的横向方向在轴向内管受到轴向压
y。2
u2u22
,,()+UL]dz4c
力的作用外管受到轴向压力的作用在平+UL
NiNoOxztz
第13期范谨铭等旋转输流管中管结构强迫振动的格林函数解19
LL2LL
11u1u1u1u2
T4=mGvG·vGdz=mG[()+δW=[()]δu1dz-[()]δu2dz-
+UGNiNi
∫022∫0tz∫0zz∫0zz
2LL
u2u22u3u4
+Udz4d[()]δu3dz-[()]δu4dz+
()G]NN
+Uoo
tGz∫0zz∫0zz
式中分别表示单位长度的内管外管的质量,L
mi、mo、
Pδu4dz11
22,22,为内∫0
mi=πDi-diρi/4mo=πDo-doρo/4ρi、ρo系统的控制方程

mL、mG采用广义哈密顿变分原理进行控制方程的建立,
相的质量
。其表达式为
,
根据Lannes等的双相流滑移因子模型得到气体
t2t2
体积分数空化率和滑移因子的表达式为T-U+Wdt=012
ε、αK∫δ∫δ
et1t1
将式代入式,经过化简计算
QG,CG,UG8、10、1112
ε=α=Ke=5得到了旋转系统的四个控制方程,按顺序分别为
QG+QLCG+CLULPIP
式中和分别表示单位长度管内气相和液相的内管在方向内管在方向外管在方向及外管在
CGCLx、y、x
体积和表示相应的体积流量因此在式方向的控制方程,表示如下
QGQL。4y
中,,,其中和分别为气相和42
mG=ρGCGmL=ρLCLρGρLu122u1
EI+mU+mU+N+
液相的密度。iiz4LLGGiz2
此外,在双相流滑移因子模型中,气体体积分数2
εu12
2mU+2mU-mΩu-
和滑移因子的关系为LLGGtzi1
Ke
2
1/2uu
ε21
K=()62miΩ+mi+mL+mG2+
e1-εtt
,
根据式和单位长度管内的气相的质量u1u3
23mG
Ku1-u3+C(-)=013a
和气相流速可以表示为tt
UG
4u2u
mρ1/21/22221
LGε,εEiIi4+mLUL+mGUG+Ni2+
mG=()UG=UL()7zz
ρL1-ε1-ε
2
综上,旋转系统的总的动能表示为u22
PIPT2mLUL+2mGUG-miΩu2+
tz
T=T1+T2+T3+T482
系统的势能u1u2
+mi+mL+mG+
t2
在本文的研究中,系统的势能包含内管的应变能t
uu
外管的应变能保温层的等效弹簧的弹性势能24
Ku2-u4+C(-)=013b
U1、U2、tt
,
及等效阻尼器的耗散能它们的表达式为422
U3U4
u3u3u32
L2222EoIo4+No2+mo2-moΩu3-
1u11u2zzt
U1=[EiIi()+EiIi()]dz9a
22
∫02z2z
u4u3u1
2moΩ+Ku3-u1+C(-)=013c
L2222ttt
1u31u4
U2=[EoIo()+EoIo()]dz9b
22422
∫022
zzu4u4u42
EoIo+No+mo-moΩu4+
L422
1[22]zzt
U=Ku-u+Ku-udz9c
3∫3142
20u3u4u2
2moΩ+Ku4-u2+C(-)=P13d
L22ttt
1u3-u1u4-u2
U4=[C+C]dz9d为了使得计算变得简洁,引入以下无量纲量
2∫0tt
式中分别为内管和外管的杨氏模量分别,,,,
E、EI、I,,,,zu1u2u3u4,*Ei,
ioio=E=
为内管和外管的截面惯性矩ξη1η2η3η4
。LEo
因此,系统的总势能可表示为3
UEiIit,PL,
=p=
τ2
mi+mL+mGLEiIi
U=U1+U2+U3+U410槡
系统的外力功22
,NiL,
c=p=
,i
旋转系统所受的外力有轴向压力以及EIm+m+mEiIi
PIPNi、No槡iiiLG
横向的均布载荷,因此,系统的外力功可以表2
Pzt。NoL,mL,mG,
p=u=ULu=UL
示为oEILLEIGGEI
ii槡ii槡ii
20振动与冲击2022年第41卷
,,,4
,,,mimomLmG,KL,格林函数法求解
βiβoβLβG=k=2
mi+mL+mGEiIi
系统的格林函数解
*2mi+mL+mG,*
Ω=ΩLI=14
EiIiIo在本文的研究中,横向外力为简谐力,即
将式槡代入旋转结构横向振动的控制方程
14PIP,iωτ
中,得到了考虑双相流及轴向压力的旋转系统的pξτ=qξe16
PIP式中,为无量纲外激频率
无量纲控制方程为ω。
旋转系统的控制方程,即式的解可以表
42PIP15
η122η1*2
+u+u+p-βΩη+示为以下形式
ξ4LGiξ2i1
,iωτ,,iωτ
2ηξτ=Xξeηξτ=Xξe
η1*η21122
2uβ+uβ-2βΩ+
L槡LG槡Gi,iωτ,,iωτ
ξττη3ξτ=X3ξeη4ξτ=X4ξe17
2将式代入式,化简后可得
η1η1η31715
+kη1-η3+c(-)=015a
τ2ττ
X″1″+a1X″1+a2X'1+a3X1+a4X2+a5X3=0
42
η222η2*2
+u+u+p-βΩη+
4LGi2i2X″2″+b1X″2+b2X'2+b3X2+b4X1+b5X4=0
ξξ18
2
X″3″+c1X″3+c2X'3+c3X3+c4X4+c5X1=0
η2*η1
2uL槡βL+uG槡βG+2βiΩ+
ξττX″4″+d1X″4+d2X'4+d3X4+d4X3+d5X2=q
2,,,,
η2η2η4式中系数的表达式为
aj、bj、cj、djj=1234
+kη2-η4+c(-)=015b
2
τττ22,
a=b=u+u+pc=d=p
42211LGi11o
η3η3**η3***2
4+po2+βoEI2-βoEIΩη3-,
ξξτa2=b2=2iωuL槡βL+uG槡βGc2=d2=0

2*2
***η4**a3=b3=k+icω-ω-βiΩ
2βoEIΩ+kEIη3-η1+
τ**2*2
c3=d3=EI-βoω-βoΩ+k+icω19
**η3η1
cEI(-)=015c*,*
ττa4=-2iωβiΩb4=2iωβiΩ

422***,***
η4η4**η4***2c4=-EI2iωβoΩd4=EI2iωβoΩ
4+po2+βoEI2-βoEIΩη4+
ξξτ,**
a5=b5=-k-icωc5=d5=EI-k-icω
***η3**根据格林函数的定义,可知式的格林函数解
2βoEIΩ+kEIη4-η2+18
τ与下式相同
**η4η2
cEI(-)=p15d
ττX″1″+a1X″1+a2X'1+a3X1+a4X2+a5X3=0
在表中给出了本文模型的几种无量纲的边界类
1X″2″+b1X″2+b2X'2+b3X2+b4X1+b5X4=0
型,其中用来指代管中管系统的无量纲位移
ηη1、η2、X″″+cX″+cX'+cX+cX+cX=020
,31323334451
和撇号代表对无量纲位置的微分。
η3η4ξX″″+dX″+dX'+dX+dX+dX=
表模型的几种边界条件41424344352
1
-

式中,为狄拉克函数
边界条件
ξ=0ξ=1δ·。
固定固定
-C-Cη=η'=0η=η'=0获得系统横向振动的格林函数的方法有很多,拉
固定简支
-C-Sη=η'=0η=η″=0普拉斯变换及拉普拉斯逆变换是较为便捷的一种对
固定自由。
-C-Fη=η'=0η″=η=0
简支简支式中的无量纲位置变量进行拉普拉斯变换,整
-S-Sη=η″=0η=η″=020ξ
简支自由
-S-Fη=η″=0η″=η=0理可得相应得象函数为
^,1[32]
X1sξ0={λ11s+a1s+a2X10+s+a1X'10+sX″10+X10+
Ms
[32]
λ12s+b1s+b2X20+s+b1X'20+sX″20+X20+
[32]
λ13s+c1s+c2X30+s+c1X'30+sX″30+X30+
[32-sξ0]
λ14s+d1s+d2X40+s+d1X'40+sX″40+X40+e}21a
第13期范谨铭等旋转输流管中管结构强迫振动的格林函数解21
^,1[32]
X2sξ0={λ21s+a1s+a2X10+s+a1X'10+sX″10+X10+
Ms
[32]
λ22s+b1s+b2X20+s+b1X'20+sX″20+X20+
[32]
λ23s+c1s+c2X30+s+c1X'30+sX″30+X30+
[32-sξ0]
λ24s+d1s+d2X40+s+d1X'40+sX″40+X40+e}21b
^,1[32]
X3sξ0={λ31s+a1s+a2X10+s+a1X'10+sX″10+X10+
Ms
[32]
λ32s+b1s+b2X20+s+b1X'20+sX″20+X20+
[32]
λ33s+c1s+c2X30+s+c1X'30+sX″30+X30+
[32-sξ0]
λ34s+d1s+d2X40+s+d1X'40+sX″40+X40+e}21c
^,1[32]
X4sξ0={λ41s+a1s+a2X10+s+a1X'10+sX″10+X10+
Ms
[32]
λ42s+b1s+b2X20+s+b1X'20+sX″20+X20+
[32]
λ43s+c1s+c2X30+s+c1X'30+sX″30+X30+
[32-sξ0]
λ44s+d1s+d2X40+s+d1X'40+sX″40+X40+e}21d
式中,,,,,,,为的行利用所求得的四个格林函数及线性叠加原理,便
λmnm=1234n=1234Msmn
列的代数余子式的表达式为
。Ms可求得旋转PIP系统强迫振动内外管在x方向和y方
向的响应解,,,,为
M1a4a50ηmξτm=1234
1
b4M20b5,iωτ,
Ms=22ηmξτ=eqξ0Gmξξ0dξ025
∫0
c50M3c4

0ddM
544利用表中不同的边界条件,可以求出相对应的
其中,和的表达式如下1
M1、M2、M3M4
格林函数解的未知参数。利用旋转PIP系统的格林函
M=s4+as2+as+a
1123数解,,,,对无量纲位置坐标的
Gmξξ0m=1234ξ
42
M2=s+b1s+b2s+b3第一三阶导数,并取,整理得到下式
23~ξ=1
M=s4+cs2+cs+c
3123QQQQXGf
11121314111
M=s4+ds2+ds+d
4123QQQQXGf
通过对式执行拉普拉斯逆变换,便得到了相21222324222
21=-26

,,,,Q31Q32Q33Q34X3G3f3
应的四个格林函数Gm=1234为
mξξ0
Q41Q42Q43Q44X4G4f4
,-1[^,]
Gξξ=LXsξ=16×1616×116×116×1
m0m0式中,,,,,,,均为四行四列的
Qmnm=1234n=1234
X10Φm1ξ+X'10Φm2ξ+X″10Φm3ξ+
矩阵,它们的表达式如式所示,,,
27Xmm=1234
X10Φm4ξ+X20Φm5ξ+X'20Φm6ξ+
,,,,
为左边界条件列阵Gm=1234为右边界条件列
X″20Φm7ξ+X20Φm8ξ+X30Φm9ξ+m
阵,,,,为外激励项列阵,它们的表达式在
X'30Φm10ξ+X″30Φm11ξ+X30Φm12ξ+fmm=1234
式中给出
X40Φm13ξ+X'40Φm14ξ+X″40Φm15ξ+28。
X40Φm16ξ+Φm16ξ-ξ0Hξ-ξ024Φm11Φm21Φm31Φm41
式中为单位阶跃函数,,,
H·Φm=1234p=1~
mpΦ'm11Φ'm21Φ'm31Φ'm41
Q=27a
为式中κ,,,,,,项的m1
1621Xmm=1234κ=0123″1″1″1″1
Φm1Φm2Φm3Φm4
参数公式拉普拉斯逆变换的结果。
Φ1Φ1Φ1Φ1
至此,得到的式即为旋转管中管系统的基础m1m2m3m4
24
解,且适用于表所涉及的几种简单边界条件但需Φm51Φm61Φm71Φm81
1。
,κΦ'm51Φ'm61Φ'm71Φ'm81
要说明的是式24所示的格林函数中的参数X
mQm2=27b
,,,,,,是未知的,需要根据系统″1″1″1″1
m=1234κ=0123Φm5Φm6Φm7Φm8
的边界条件进一步求出
。Φm51Φm61Φm71Φm81
22振动与冲击2022年第41卷
,外管内径,外管外径,内外
Φm91Φm101Φm111Φm121mdo==、
管的弹性模量均为112,密度均为
Φ'm91Φ'm101Φ'm111Φ'm1212×10N/m7850kg/
Q=27c
m33,液相内流密度为3,气相内流密度为
Φ″1Φ″1Φ″1Φ″1mρL=1000kg/m
m9m10m11m12
3
Φm91Φm101Φm111Φm121ρG=。

Φm131Φm141Φm151Φm161
本小节忽略保温层的作用和旋转的影响,通过解
Φ'm131Φ'm141Φ'm151Φ'm161
Qm4=27d耦得到了无旋转输流管横向振动的动力学模型利用
Φ″1Φ″1Φ″1Φ″1。
m13m14m15m16
格林函数法求解了两端都为简支边界的输流管模型的
Φ1Φ1Φ1Φ1
m13m14m15m16横向振动验证部分结构模型及材料属性的相关参数
[]T。
Xm=Xm0X'm0X″m0Xm028a取自于马腾等,无量纲参数的取值为,内流取为
[,,,,]
Gm=G11ξ0G1'1ξ0G1″1ξ0G11ξ028b单相流,并取三组无量纲内流流速分别为和
[]TuL0、12。
fm=Φm16ΨΦ'm16ΨΦ″m16ΨΦm16Ψ28c通过改变外激频率,得到了三种无量纲内流流速下,
式中,ω
Ψ=1-ξ0。在位置处作用单位简谐载荷时处的幅频曲线
根据表将所对应的边界条件代入式,。
125图给出了在三种内流流速下前三阶无量纲固有频率
化简计算便得到了式相对应的格林函数中的未知2
24,
曲线规律其具体数值在表2中给出。通过与马腾等
左边界系数。将求解得到的左边界系数和已知的边界
,
,采用改进傅里叶法得到的结果进行对比可以发现采
条件代入式24便得到了完整的旋转管中管系统的
用本文的方法得到的结果与参考文献基本一致两种
四个格林函数解。。
方法存在误差的原因主要是马腾等采用的改进傅里叶
3数值结果及讨论法存在截断误差,在求解系统的频率时会与精确解产
生明显的误差而本文的格林函数法得到的解为精确
本文所研究的PIP系统的相关参数为长为L=10。
,
,内管的内径为,内管的外径为的解析解更精确与可靠。
mdi==
a无旋转输流管的第一阶频率b无旋转输流管的第二阶频率c无旋转输流管的第三阶频率
图2不同流速条件下的格林函数响应-外激频率曲线
’sfunctionresponse-externalexcitationfrequencycurveunderdifferentflowvelocity

本小节以不旋转的悬臂系统为研究对象,研

究气体体积分数轴向压力内流流速及弹簧刚度系数
differentboundaries、、
[]对系统格林函数基础响应的影响
内流流速模态阶次本文方法文献9。
图展示了外激励频率为时,含有不同气
=20
体体积分数的无旋转悬臂管中管系统的格林函数解
uL=。

k=300、c=2、uL=3、pi=

0、po=0。0、
uL=,且力的作用点为由于无旋转系统的响应
=1。
,表示方向响应的,
y

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