文档介绍：求轨迹方程的六种常用技法
轨迹方程的探求是解析几何中的基本问题之一,也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时,不善于揭示问题的内部规律及知识之间的相互联系,动辄就是罗列一大堆的坐标关系,进行无目的大运动量运算,致使不少学生丧失信心,半途而废,因此,在平时教学中,总结和归纳探求轨迹方程的常用技法,对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式,点到直线的距离公式,直线的斜率公式等,直接列出动点满足的等量关系式,从而求得轨迹方程。
,直线相交于,且它们的斜率之积是,求点的轨迹方程。
解:以所在直线为轴,垂直平分线为轴建立坐标系,则,设点的坐标为,则直线的斜率,直线的斜率
由已知有
化简,整理得点的轨迹方程为
练****br/>,则点的轨迹方程是。
,且与椭圆交于、两点,是上满足的点,求点的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( )
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形,再求其轨迹方程,这种方法叫做定义法,运用定义法,求其轨迹,一要熟练掌握常用轨迹的定义,如线段的垂直平分线,圆、椭圆、双曲线、抛物线等,二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
,和两边上的中线长之和是,则的重心轨迹方程是_______________。
解:设的重心为,则由和两边上的中线长之和是可得
,而点为定点,所以点的轨迹为以为焦点的椭圆。
所以由可得
故的重心轨迹方程是
练****br/> ( )
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法,其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程,然而相减,利用平方差公式可得,,,等关系式,由于弦的中点的坐标满足,
且直线的斜率为,由此可求得弦中点的轨迹方程。
,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。
解:设过点的直线交椭圆于、,则有
①②
①②可得
而为线段的中点,故有
所以,即
所以所求直线方程为化简可得
练****br/>、两点,求弦的中点的轨迹方程。
,过点能否作一条直线与双曲线交于两点,使为线段的中点?
转移法求曲线方程时一般有两个动点,一个是主动的,另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时,一般可以用转移法求其轨迹方程:
①某个动点在已知方程的曲线上移动;
②另一个动点随的变化而变化;
③在变化过程中和满足一定的规律。
例4. 已知是以为焦点的双曲线上的动点,求的重心的轨迹方程。
解:设重心,点,因为
则有, 故代入
得所求轨迹方程
,过点作直线交抛物线、两点,再以、为邻边作平行四边形,试求动点的轨迹方程。
解法一:(转移法)设,∵,∴平行四边形的中心为,
将,代入抛物线方程,得,
设,则
①
∴,
∵为的中点.∴,消去得
,由①得,,故动点的轨迹方程为。
解法二:(点差法)设,∵,∴平行四边形的中心为,
设,则有
①②
由①②得③
而为的中点且直线过点,所以代入③可得,化简可得④
由点在抛物线口内,可得⑤
将④式代入⑤可得
故动点的轨迹方程为。
练****br/>,在平面上动点满足,点是点关于直线的对称点,求动点的轨迹方程。
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一,求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后,有时题目会就方程中的参数进行讨论;参数取值的变化使方程表示不同的曲线;参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同;参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。
、两点,已知。
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(2)是否存在这样的直线,使矩形?若存在,求出的方程;若不存在,说明理由。
解:当直线的斜率存在时,设的方程为,代入方程,得
因为直线与双曲线有两个交点,所以,设,则
①
设,由得
∴所以,代入可得,化简得
即②
当直线的斜率不存在时,易求得满足方程②,故所求轨迹方程为,其轨迹为双曲线。(也可考虑用点差法求解曲线方程)
(2)平行四边为矩形的充要条件是即③
当不存在时,、坐标分别