微积分公式与定积分计算练习.docx

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微积分公式与定积分计算练****附加三角函
数公式)
一、基本导数公式
(c)=0x□二□xa--(sinx)=cosx
⑴⑵x“卩xm⑶
(cosx)=一sinx(tanx)=sec2x(cotx)=一csc2x
⑷⑸⑹
(secx)=secx-tanx(cscx)=—cscx-cotx
⑺⑻
⑼Aex⑽Aaxlna的(lnx>=丄
1(arcsinx)*=1
xlna陶
1-x2(14)
(arccosxJ=-1——
1-x2
(arctanx)=-(arccotx)=
(151+x2(16)
二、导数的四则运算法则
(x)'=1
(17)(18)
2富
(u土v)=u'土vv'(uv)二uv+uv
v2
三、高阶导数的运算法则
u(x)±v(x)](n)=u(x%)土v(x%)
(1)
(2)
cu(x)](n)=cu(n)(x)
3)
u(ax+b)](n)=anu(n)(ax+b)
4)
「u(x)-v(x)](n)=£cku(n-k)(x)v(k)(x)
n
k=0
四、基本初等函数的n阶导数公式
Cn)n)=n!Cox+b)n)=an-eax+b
2)
(ax)(n)
=axInna
3)
4)
sin(ax+b)](")=ansinax+b+n•—
2丿
(1)
cos(ax+b)](n)
5)
(1)
tanxdxln|cosx|ccotxdxln|sinx|c
1n
axb
(6)
五、微分公式与微分运算法则
inan"!axbni
(7)
lnaxbn
ann1!
i
axbn
(l)d
1dx
⑶
dsinxcosxdx
cosxsinxdxd
⑸
tanxsec2
xdxdcotx
⑹
csc2xdx
secx
secxtanxdx
dcscx
⑻
cscx
cotxdx
ex
exdxdax
⑽
axlnadx
d
lnx
1dx
x
d
logx
—1—dx
darcsix-
1
L
:dx
darccosx
Q2)
a
xlna
、;1X2
Q4)
d
arctanx
1
dx
darccotx
1
1
dx
Q5)
1X2
X2
(11)
1
1X2
dx
duvdudvdcu
cdu
)
⑵
vduudv
d
du
uvvduudvv
v2
⑶
⑷V
六、微分运算法则
kdxkxc
x
dx-
X1
1
c
竺inxc
)
ax
⑵
⑶
X
⑷
axdx
lna
c
⑸
exdx
ex
c
⑹
cosxdxsinxc
sinxdxcosx
c
1
—dx
sec2xdxtanxc
⑺
⑻
cos2
x
七、基本积分公式
1
⑼sinx
csc2xdx
cotx
1—dx
1x2
arctanxc
1
1X2
dx
arcsinxc
八、补充积分公式
Jsecxdx=In|secx+tanx|+cJescxdx=In|cscx-cotx|+c
J——-——dx=—arctan—+cJdx-ln
a2+x2aax2一a22a
dx-arcsin+ca
dx=lnx+Jx2土a2
Jsecxdx=In|secx+tanx|+cJescxdx=In|cscx-cotx|+c
积分型
换元公式
Jf(ax+b)dx_丄Jf(ax+b为(ax+b)a
u_ax+b
JfC卩)rp-idx_丄JfC卩》C)
u_x卩
Jf(lnx)丄dx_Jf(lnx')d(lnx)
x
u_lnx
JfCx)・exdx_Jf(ex力Cx)
u_ex
JfCx)•axdx_—!—JfCx》Cx)lna
u_ax
Jf(sinx)•cosxdx_Jf(sinx»(sinx)
u_sinx
Jf(cosx)•sinxdx_-Jf(cosx)d(cosx)
u_cosx
Jf(tanx)•sec2xdx_Jf(tanx)d(tanx)
u_tanx
Jf(cotx)•CSC2xdx_Jf(cotx为(cotx)
u_cotx
Jf(arctanx)・1dx_Jf(arctanx》(arctanx)
1+x2
u_arctanx
Jf(arcsinx)•(】dx_Jf(arcsinx》(arcsinx)
Jl-x2
u_arcsinx
九、下列常用凑微分公式
十、分部积分法公式
Jxneaxdx„_v
⑴形如,令u_xn,
Jxnsinxdx_形如令u_xn,
Jxncosxdx_形如令u_xn,
Jsecxdx=In|secx+tanx|+cJescxdx=In|cscx-cotx|+c
dv_eaxdx
dv_sinxdx,dv_cosxdxu_arctanx
dv_
xndx
Jxnarctanxdx⑵形如,令
Jsecxdx=In|secx+tanx|+cJescxdx=In|cscx-cotx|+c
开"如'兀"lnxdx令u=lnxdv=x”dx
JeaxsinxdxJeaxcosx^^u—eaxsinxcosx
⑶形如令u=eax,sinx,cosx均可。
十一、第二换元积分法中的三角换元公式
a2+x2x=atant
⑶"2—a2x=asect
(1)Pa2—x2x—asint(?)特殊角的三角函数值】
⑴sin0=0
.兀1sin=—⑵62
3)
.兀
sin
3
(4)
sin=1
2
⑸sin兀二0
⑴cos0=1
兀羽cos—⑵62
3)
—1
cos—
32
(4)
兀c
cos=0
2
(5)cos兀=—1
⑴tan0=0
(2)
兀<3
tan
63⑶
tan—=<3
⑷
—
tan
2不存在
(5)tan兀=0
1)cot0不存在
2)
cot6,,3
3)
兀
cot—
3
—
cot=0
4)2(5)cot—不存在
十二、重要公式
sinx
lim=1
1)xT0x
lim(1+x=e
2)xT0
lim4a(a>o)=1
(3)nTg
limnn=1
(4)nTg
limarctanx=
5)xTg2
limarctanx=-—
6)xT-g2
limarccotx=0
7)xTg
limarccotx=兀
8)xT-g
limex=0
(9)xT-g
limex=g
10)xT+g
limxx=1
(11)xt0+
a
b
0
0
“axn+axn—1++a
lim01n
xTgbxm+bxm—1+••+b
01m
12)
(系数不为0的情况)
xT0
十三、下列常用等价无穷小关系(0)
-cosx〜-x2sinx〜xtanx~xarcsinx〜xarctanx~x2
ln(1+x)~xex—1〜xax—1〜xlna(1+x》—1〜°x
十四、三角函数公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=
cot(A+B)=
tanA+tanBtanA-tanB
tan(A-B)=
1-tanAtanB1+tanAtanB
cotA-cotB-1cotA-cotB+1
cot(A-B)=
cotB+cotAcotB-cotA

sin2A=2sinAcosAcos2A=cos2A-sin2A=1-2sin2A=2cos2A-1
2tanA
tan2A=—
1-tan2A
3。半角公式
A
sin=
2
1一cosAA:1+cosA
cos=
2
A1一cosAtan=
2V1+cosA
sinAA:1+cosAsinA
cot==
1+cosA21一cosA1一cosA
4。和差化积公式
a+ba-ba+ba-b
sina+sinb=2sm-cossina-sinb=2cos-sin
2222a+ba-ba+ba-b
cosa+cosb=2cos-coscosa-cosb=-2sm-sin
2222
sin(a+b)
tana+tanb=一
cosa-cosb
5。积化和差公式
sinasinb=-—
2L
sinacosb=—sin
2L
sinacosb=—
cos(a+b)-cos(a-b)]
cosacosb=—
2L
in(a+b)+sin(a-b)]cosasinb=—
」2L
cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a+b)-sin(a-b)]

aaa
tan1-tan22tan
222
sina=cosa=tana=一
aaa
1+tan21+tan21-tan2—
222

sin2x+cos2x=1sec2x-tan2x=1csc2x-cot2x=1
倒数关系
tanx-cotx=1secx-cosx=1cscx-sinx=1
9。商数关系
sinxcosx
tanx=cotx=
cosxsinx
十五、几种常见的微分方程
1。可分离变量的微分方程:-=f(x)g(y)
f(x)g(y)dx+f(x)g(y)dy=0
1122
dy=
2济次微分方程:dx
dy+p(x)y=Q(x)y=e」p(x)dxJQ(x)e『p(x)dxdx+c
3.—阶线性非齐次微分方程:dx解为:L
高考定积分应用常见题型大全
一•选择题(共21小题)
•(2012•福建)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()

.(2010•山东)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为()

123"12
[V,让[0,1]
.设f(x)='—ExC刀,函数图象与x轴围成封闭区域的面积为()



6

7
4
〔加+丄)dx
4.
定积分
的值为(
)
A
.9
+1n2
-ln2
+1n2
4
5•如图所示,曲线y=x2和曲线y^x围成一个叶形图(阴影部分),其面积是()
D•立
~2
(k+cosk)d葢
=()
A•nB•2
C.-n
7•已知函数f(x)的定义域为[-2,4],且f⑷二f(-2)=1,f(x)为彳(x)的导函数,函数y二f'(x)的图象如图所示,则平面区域f(2a+b)<1(a三0,b三0)所围成的面积是()
2
J01exdx与/01ex
dx相比有关系式()
J01exdx<J01ex
dx
(J01exdx)2二J
01ex
z
dx
B•
J1exdx>J1exJ0J0
D•
J1exdx=J1ex
J0J0
dx
z
dx

J-Icossdsb=
则a与b的关系是(
<b
10•
A•兀
ds
的值是()
C•一丄
21
D•1
T_1
D•a+b=0