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创意平板折叠桌
摘要
本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径,为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一,定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行,利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度,将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线,求出最外围木条的长度。为描述动态变化过程,引用等效替代的思想,建立模型,用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二,在不影响到外形美观度的基础上,先以用材最少为目标函数,
用稳定性好和加工方便为约束条件,建立优化模型,使用Lingo软件编程求出部
分参数最优解,根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三,此问是要建立设计加工参数的通解,需要考虑不同的桌面形状,建立不同的模型,在输入数据时先判断属于哪个桌面形状,任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状,利用建立的模型求解其设计加工参数,绘制动态变化过程示意图。
关键词:创意平板折叠桌;拟合;最优化模型;空间几何
一、问题重述
创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上,还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。在已知桌高和桌面直径的条件下,建立数学模型,快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下,建立数学模型分析研究下面的问题:
(1)根据所给的已知条件,建立数学模型,来描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
(2)在造型美观的前提下,考虑稳固性,加工方便,用材等影响因素,在已知桌高和桌面直径的情况下,建立数学模型,确定最优设计加工方案。
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(3)根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状,给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数,使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。根据建立的模型设计创意平板折叠桌,并给出相应的设计加工参数及动态变化过程的示意图。
二、问题分析
本题研究的创意平板折叠桌问题,问题一至三,都是研究折叠桌在制作过程中的设计加工参数,本着同样的思想,建立数学模型,全面的考虑各方面的影响因素,求出最优解。
问题一是利用所给的已知条件,求解折叠桌在运动及设计方面的问题。首先
使用已知量得出组成折叠桌的每条木条的长度,再利用等效替代[21的思想建立模
型对折叠桌折叠的动态过程进行描述,最后观察总结求出设计加工参数以及桌角边缘线。
问题二是求最优设计加工参数的问题,在折叠桌制作过程中影响因素有很多个,选取用材最少作为目标函数,将产品稳定性及加工是否方便作为约束条件,
建立模型,利用Lingo软件求取某些参数的最优解,借助这些最优参数,得出全
面的最优设计加工参数。
问题三是求适用于不同桌面形状的设计加工参数的模型的建立,首先建立不同形状桌面的求设计加工参数的模型,观察建立的模型,找出其中的共同处,建立通解模型,在任意输入折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状的数据,求解,将得到的数据汇总,并用Matlab软件编程,绘制动态变化过程。
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三、模型假设
1、假设相邻木条间紧密相连,无缝隙,木条总宽度就是桌面的宽度;
2、假设木板宽度等于圆桌面的直径;
3、假设桌面与腿接口处的缝隙可以忽略不计;
4、假设加工过程中的误差可以忽略不计;
5、假设圆桌面的圆心与长方形模板的对角线的交点重合。
四、符号说明
从边缘最外侧数起第i条半弦长
桌腿与竖直方向的夹角边缘最外侧桌腿的长度
桌子高度
q.
i
从边缘最外侧数起第i根木条的长度
从边缘最外侧数起第i根木条开槽的长度
(x,y,z)
i1订i1
(x,y,z)
第i根木条与桌面的交点坐标
第i根木条钢筋位置的坐标
,y,z)
iii
第i根木条上桌脚边缘线的点的坐标
边缘桌腿与地面的夹角制作所需的平板的厚度制作所需的平板的长度
最外侧边缘的半弦长
木条的宽度木板的宽度
五、模型的建立与求解
实施过程
Stepl:定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行,使用弦长公式□,计算出除最外两侧的其余弦的长度,将数据导入Matlab软件中使用cubic方式拟合皿,得出最外侧的弦长,从而得出最外侧腿的长度;
Step2:引用等效替代W的思想,建立数学模型,将折叠桌的动态变化转化为最
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外侧桌腿和竖直方向的角度的变化,编写程序;
Step3:根据观察出的桌腿与木槽长度的关系,对木槽求解。对桌脚边缘线的描
述,建立三维坐标系,引用空间直线方程bl,求出边缘线上点的坐标,最后画出边缘线的图像。
Step1的求解——计算弦长和桌腿长
给定的长方形平板尺寸为120cmX50cmX3cm,,命圆桌面的弦长方向与木板长度方向平行,利用弦长公式訂对除最外侧的18条弦长求长度,将求出的数据拟合,得出最外侧弦长的长度。
为求弦的半弦长,建立以下的数学模型:
p=(252—(*(11—i))2)(i/2)i=2,3,…,10
i
pi=p21—i
i=11,12,
…,19
p:从边缘最外侧数起第i条半弦长i=1,2,i
…,20
表1折叠桌圆桌面的18条半弦长
i
P.
i
i
P.
i
2
11
3
15
12
4
13
5
20
14
6
15
7
16
20
8
17
9
18
15
10
19
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30
cubit
25
20
15
10
2
3
4
5
6
8
9
10
51
根据以上表1中的数据,因为呈对称性,所以随机选取右半边的数据导入
Matlab中编程拟合【见附录一】得出i=1、20时的弦长。
图一Matlab软件对数据拟合
由上图cubic方式拟合,,因此可以得出
+data1
Y=f(X)
data2
。
Step2的求解——建模求解
创意平板折叠桌的折叠变化过程是很复杂的,由此引用等效替代[21的方法将
复杂的问题在不改变结果的情况下转化为简单明了的问题。将折叠椅的变化过程转化为桌腿与桌高的夹角变化情况。
建立了以下的数学模型:
arccos
9=
兀
*180
(0<H<50)
9:桌腿与竖直方向的夹角
Q:边缘最外侧桌腿的长度
H:桌子高度
因为平板尺寸的厚度为3cm,所以折叠桌的真实桌高为50cm。
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根据上述的模型利用Matlab软件编写出程序【见附录二】,随意输入一个在范围内的桌高H都可以得到桌子再此高度时桌腿与竖直方向的夹角,根据角度的变化,反映出折叠桌在折叠过程中的变化情况。借用此模型求出在固定的位置
。。
编写程序【见附录三】折叠桌折叠过程中的动态示意图:
图二折叠桌变化过程
Step3的求解——设计加工参数及桌角边缘线
设计加工参数
根据对所给题目的观察与理解,已知连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置,由此可以得出所开木槽长的限制范围。为了最后展现出桌脚边缘线的弧度,可以得出木槽长度由边缘到中间是逐渐递增的。折叠桌是对称的,因此只取左半边作为研究即可。
为求木槽长度建立的数学模型是:
q=60-pi=1,2,…,20
ii
=Q-qi=1,2,…,20
ii
p:从边缘最外侧数起第i条半弦长
i
q:从边缘最外侧数起第i根木条的长度
i
l:从边缘最外侧数起第i根木条开槽的长度
i
Q:边缘最外侧桌腿的长度
实用标准
1
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由以上的模型求解,将得到的解绘制成以下的表2:
表2折叠桌各桌腿的长度及开凿木槽长度
i
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
p.
1
q.
1
20
15
40
45
0
桌角边缘线的数学描述
为了能客观且准确的描述出桌角边缘线,采用了三维坐标的描述方法,将桌面圆心作为坐标轴的原点,圆心地面的垂直方向向上作为三维空间坐标轴的z轴,原点与木条长度延伸方向作为三维空间坐标轴的x轴,原点与垂直弦的方
向作为三维空间坐标轴的Y轴,由此建立的坐标系,引用的空间直线方程回,求出桌角边缘线上点的坐标。
桌子撑开后,利用两点坐标求第三点未知坐标,通过第1根木条与桌面的交
点M(x,y,z)1=1,2,…,20与第i根木条的钢筋的位置的坐标点1111i1i1
M(x,y,z)1=1,2,…,20确定空间直线方程可以求出第1根木条上桌i2i2i2i2
脚边缘线的点M(x,y,z)。
iiii
空间直线方程:X二兀订=yi-yii=Zi-Zii1=1,2,…,20
x-xy-yz-z
i2i1i2i1i2i1
(x,y,z):第i根木条与桌面的交点坐标
i1i1i1
(x,y,z):第1根木条钢筋位置的坐标
i2i2i2
(x,y,z):第1根木条上桌脚边缘线的点的坐标
实用标准
2
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iii
实用标准
i
i
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根据以上的方程,把桌角边缘线上所有点的坐标求出来绘制表格,见下表3:
表3桌角线上点的坐标
11
12
13
14
T5
16
17
18
19
20
T
2
4
5
6
7
T
9
10
x
i
y.
i
25
-50
20
15
10
-
-5
-10
-
-15
-
-20
-
-25
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-50
实用标准
i
ii
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