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对于问题一,对于此问我们首先确立了可能影响成品油价格的因素,我们认为可能影响成品油价格的因素有:中国原油生产量x、中国原油进口量x、中国原油出口量x
123以及国际原油价格x等。在假设各个变量之间没有多重共线性的情况下,我们先用最小4二乘法对其进行多元线性回归,最终结果未能通过显著性检验。
在此情况下我们对各个变量进行了多重共线性检验,列出了各个变量间的相关系数矩阵发现变量之间具有相关性,即原假设不成立,变量之间存在多重共线性。为了修正多元共线性给模型带来的误差,接下来我们运用逐步回归的方法得出了最终该结果:y=+
2
(元/吨)。
对于问题二,分析家庭汽车数量我们认为影响长沙市家庭汽车数量因素有:1成品
油价格(元/吨)X、2人均可支配收入(元)X、3人口数量(人)x、4普通小汽车的
123
价格指数x、5居民消费指数x以及6城市公交车乘坐人次(人)x。由此建立统计回
456
归模型,最终得到模型为:
y=6628伞x+^x+#x一&45*lCh*x2
1233
运用此模型预测得2020年长沙市家庭汽车数量大概为1589400辆。
对于问题三,我们讨论了GPI与国内成品油价格的关系,通过对其进行一元线性回归得到结果如下:
y=*x-(5元/升)
。第四问中我们根据上述三问所建立的模型给给国家发改委提出中国成品油定价机制的建议有:宏观调控,放开价格;适当缩短成品油调价时间间隔,让其能够及时的反映成本,进一步向市场化迈进;成品油定价时要充分考虑GPI等等
关键词:最小二乘法、多元线性回归、多重共线性检验、逐步回归
一、问题重述
问题背景:
经济发展与人民生活息息相关。油价的上涨引起了广大消费者的不满,对我国现行的成品油定价机制产生了质疑。因此,成品油的合理定价对国家经济发展及社会和谐稳定具有重要的现实意义。
我们就长沙市家庭汽车、影响成品油价格因素等实际数据对有关成品油价格与家庭汽车的一些问题建立数学模型进行讨论。
待解决问题:
1、分析影响中国成品油价格的因素,建立数学模型,并预测到2016年中国成品油价格情况。
2、对家庭汽车数量的增长给出数学模型,并预测到2020年家庭汽车的发展前景,说明成品油价格对家庭汽车增长的影响。
3、分析国外成品油价格的定价因素,给出一份适合中国国情的成品油定价模型。
4、根据你所建立的模型,给国家发改委提出中国成品油定价机制的建议。
二、问题分析
第一问:
分析影响中国成品油价格的因素,建立数学模型,并预测到2016年中国成品油价格情况。对于此问我们首先确立了可能影响成品油价格的因素。
我们认为可能影响成品油价格的因素有:中国原油生产量、中国原油进口量、中国原油出口量以及国际原油价格等。
对于家庭汽车数量这个因素,常识中我们只听说过油价影响汽车,没有听过汽车影响油价,并且我们通过资料查询,发现成品油价格必将影响家庭汽车数量,但家庭汽车数量不是影响成品油价格的因素。所以我们假设家庭汽车数量不作为影响因素。
我们通过查阅资料得到从2006到2012年各个因素的具体数据。有了数据后我们便开始进行解题。关于本题我们以成品油价格为因变量,以中国原油生产量、中国原油进口量、中国原油出口量以及国际原油价格为自变量进行回归分析。
多元回归分析我们首先要考虑自变量与自变量之间是否存在相关关系即多重共线性,对于此题我们先假设各个自变量之间相互独立对其用最小二乘法进行多元线性回归,但自变量间可能存在多重共线性。
为了避免多重相关性给模型带来的误差,我们接下来运用逐步回归法对各个变量进行了回归进而得到了比较准确的模型,然后我们根据模型对2016年的成品油价格进行了预测。
第二问:
是对家庭汽车数量的增长给出数学模型,并预测到2020年家庭汽车的发展前景,说明成品油价格对家庭汽车增长的影响。家庭汽车数量增长的影响因素可能有:城镇居民人均可支配收入、长沙市人均GDP、国内成品油价等因素。
此问中我们对2006到2012年的数据进行汇总作为解题数据并进行量纲化处理。考虑到问题一中的多重共线性我们运用主成分估计法对各个因素进行分析进而建立起模型。有了家庭汽车数量增长模型后,然后我们对2020年的家庭汽车发展前景进行了预测。
对于成品油价格对家庭汽车的影响我们通过对模型式对国内成品油价格做偏导数进而给出其间的关系。
第三问:我们分析了解了国外很多国家的成品油定价机制,通过此为基础对我国成品油定价进行研究。国内成品油价格受多种因素的影响:国际原油价、国内GPI、成品油出口量、成品油供应量、成品油市场需求、成品油进口量、国内GDP增长、国内原油产量、国内原油成本等因素。
在充分查阅资料的情况下通过查阅文献得出,在影响成品油价格的因素中,CPI所占权重比较大,下面我们就只讨论GPI对成品油定价的影响。首先我们画出两者之间的残差图,通过残差图我们发现国内原油价格与GPI具有正相关关系,然后我们运用一元线性回归进行建立模型。
模型假设
假设该论文所参考的数据真实可靠。
在单位换算时候不考虑因汇率不同所带来的影响。
忽略短时间内家庭汽车数量对成品油价格的影响。
在模型可以预测的时间范围内,不发生重大的变故(如:全球经济危机,大型战争,重大的自然灾害),以及不会出现家庭汽车交通工具的替代品。
在模型可以预测的时间范围内,家庭汽车的数量不会达到市场容量的饱和点。
,使得数据在以年为跨度时相对稳定。
符号说明
问题1:
x„„„„中国原油产量(万吨)
1
x„„„„中国原油进口量(万吨)
2
x3国际原油价(元/吨)
x„„„„中国原油出口量(万吨)
4
y国内成品油价(元/吨)
t年份
问题2:
y长沙市汽车保有量(辆)
X]成品油价格(元/吨)
x2人均可支配收入(元)
x3人口数量(人)
x4普通小汽车的指数
x5居民消费指数
x6城市公交车乘坐人次(万人)
问题3:
y成品油价格
xGPI
模型建立与求解
问题一:
多元线性回归求解
此问中我们采取了中国原油生产量x、中国原油进口量x、中国原油出口量x以及]23
国际原油价格x作为影响因素对国内成品油价格y建立数学模型。下表是我们所查的数4
据:
表一
年份
中国原油产量(万
吨)
中国原油进口量(万吨)
国际原油价(元/吨)
中国原油出口量(万吨)
国内成品油价(元/吨)
2006
14517
634
2007
16316
389
2008
17888
424
2009
20365
507
2010
23768
303
2011
25378
252
2012
27103
243
在假设各个自变量间相互独立即解释变量之间不存在多重共线性的前提下,我们建立多元线性回归模型:
y二a+a*x+a*x+a*x+a*x
0]]223344
将表一数据代入matlab中求得:
(源程序及结果见附件1)
—*x+*x+*x+*x
1234
R2===
通过对比各个相关系数的临界表发现参数完全无法通过检验故自变量之间可能存在多重共线性。此模型不成立。
多重共线性的分析
我们以实际问题为参考,很显然在我们假设的几个因数中有存在相关性,例如中国原油出口量和中国原油进口量之间必然存在很大的相关性,又如中国原油产量与中国原油进口量,它们之间必然存在很大的联系,在统计学中我们称之为多重共线性。
多重共线性是多元回归分析中一类比较复杂的问题,由于它的存在,会消弱回归系数估计值的准确性和艳定性,从而给经济分析和预测带来很大的误差。所谓多重共线性是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。一般来说,由于经济数据的限制使得模型设计不当,导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。
为了为解决多重共线性所带来的误差,我们接下来用逐步回归方法进行修正。
逐步回归法修正多重共线性
逐步回归的基本思想是,从当前在圈外的全部变量中,挑选其偏回归平方和贡献最大的变量,用方差比进行显著性检验的办法,判别是否选入;而当前在圈内的全部变量中,寻找偏回归平方和贡献最小的变量,用方差比进行显著性检验的办法,判别是否从回归方程中剔除。选入和剔除循环反复进行,直至圈外无符合条件的选入项,圈内无符合条件的剔除项为止。
在逐步回归计算中需要用到线性代数中的消去变换法进行变量的选入。对选入变量的回归系数进行显著性检验,剔除变量仍进行F—检验。经过若干次选入变量和剔除变量之后,所有变量再没有可入选或剔除的,选择变量的步骤停止,整理资料,得出回归方程。逐步回归法由于剔除了不重要的变量,因此,无需求解一个很大阶数的回归方程,显著提高了计算效率;又由于忽略了不重要的变量,避免了回归方程中出现系数很小的变量而导致的回归方程计算时出现病态,得不到正确的解。在解决实际问题时,逐步回归法是常用的行之有效的数学方法。逐步回归的计算一般需借助计算机计算。
下面我们运用matlab(程序见附录二)进行逐步回归得到以下结果:
图一逐步回归分析结果图
从新的统计结果可以看出,虽然剩余目标差没有太大变化,但是统计量F的值明显增大,
因此新的回归模型更好一些。由此可以求出最终的模型为:
y=+
2
接下来我们分别以中国原油生产量和中国原油进口量对时间进行一元线性回归建立这两个变量关于时间的模型。利用matlab进行线性回归得到(相关程序见附录三):
从上述各个参数的值可以看出线性回归得到的模型较好。接下来我们利用此模型对
年的中国原油产量、中国原油进口量的值进行预测。
年:
x=—+=(亿吨)
2
由式3得:
y=+=(元/吨)
问题二:
数据查询分析家庭汽车数量我们认为影响长沙市家庭汽车数量因素有:1成品油价格(元
/吨)xl、2人均可支配收入(元)x2、3人口数量(人)x3、4普通小汽车的价格指数x4、5居民消费指数x5以及6城市公交车乘坐人次(人)x6。下表是我们所查的数据:
年份
长沙市汽车保有量(辆)
成品油价格(元/吨)
人均可支配收入
(元)
人口数量(人)
2005
126289
12434
6209248
2006
163162
14788
6309958
2007
221801
5480
16963
6373561
2008
290783
18282
6417367
2009
403195
20864
6468350
2010
546834
7440
23347
6501248
2011
689957
27069
6566185
2012
856813
31044
6606166
图像化处理
我们将y与xl、x2、x3之间的关系用散点图表示出来
图三
图四
图5
于是,通过分析,对x1,x2,x3建立以下模型
y=a+a2*xl+£
y=b+a3*x2+£
y=c+a4*x3+a5*x「2+£所以
综合上述分析,建立以下回归模型
y=bl+b2*xl+b3*x2+b4*x3+b5*x3“2+£
(matlab程序见附录4)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)
参数
参数估计值
参数置信区间
al
0
[00]
a2
[]
a3
[]
a4
[]
a5
-*10八(-8)
[--07--08]
R2二O."898F=13O6p<
结果分析
R2二°・99898指因变量y(家庭汽车保有量)%可由模型确定,F值远远超过F检验的临界值,p远远小于置信水平a,因而模型整体上来看是可用的。
表二给出了模型al,a2,a3,a4,a5的估计值,即al=O,a2=,a3=,