1 / 11
文档名称:

数学建模算法大全目标规划.docx

格式:docx   大小:52KB   页数:11页
下载后只包含 1 个 DOCX 格式的文档,没有任何的图纸或源代码,查看文件列表

如果您已付费下载过本站文档,您可以点这里二次下载

分享

预览

数学建模算法大全目标规划.docx

上传人:guoxiachuanyue013 11/24/2022 文件大小:52 KB

下载得到文件列表

数学建模算法大全目标规划.docx

相关文档

文档介绍

文档介绍:该【数学建模算法大全目标规划 】是由【guoxiachuanyue013】上传分享,文档一共【11】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【数学建模算法大全目标规划 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。-262-
-253-
第二十一章目标规划
§1目标规划的数学模型为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别,先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。
例1某工厂生产I,II两种产品,已知有关数据见下表
原材料kg设备hr利润元/件

2
1
8
ii
1
2
10
拥有量
11
10
试求获利最大的生产方案。
解这是一个单目标的规划问题,用线性规划模型表述为
maxz=8x+10x
12
2x+x<11
12
<x+2x<10
12
x,x>0
12
最优决策方案为:x*=4,x*=3,z*=62元。
12但实际上工厂在作决策方案时,要考虑市场等一系列其它条件。如
根据市场信息,产品I的销售量有下降的趋势,故考虑产品I的产量不大于产品ii。
超过计划供应的原材料,需要高价采购,这就使成本增加。
(iii)应尽可能充分利用设备,但不希望加班。
(iv)应尽可能达到并超过计划利润指标56元。
这样在考虑产品决策时,便为多目标决策问题。目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。
正、负偏差变量
设d为决策变量的函数,正偏差变量d+=max{d-d,0}表示决策值超过目标值0
的部分,负偏差变量d-=-min{d-d,0}表示决策值未达到目标值的部分,这里d表00
示d的目标值。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值,即恒有
d+xd-=0。
绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束;如线性规划问题的所有约束条件,不能满足这些约束条件的解称为非可行解,所以它们是硬约束。目标约束是目标规划特有的,可把约束右端项看作要追求的目标值。在达到此目标值时允许发生正或负偏差,因此在这些约束中加入正、负偏差变量,它们是软约束。线性规划问题的目标函数,在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。如:例1的目标函数z=8x+10x可变换为目标约束
12
8x+10x+d--d+=56。绝对约束2x+x<11可变换为目标约束
121112
2x+x+d--d+=11。
1222
优先因子(优先等级)与权系数
-254-
-263-
一个规划问题常常有若干目标。但决策者在要求达到这些目标时,是有主次或轻重缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子P1,次位的目标赋于优先因子
P2,…,并规定P>>P,k=1,2,…,K。表示P比P有更大的优先权。以此类推,2kk+1kk+1
若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别,这时可分别赋于它们不同的权系数w.,这些都由决策者按具体情况而定。
目标规划的目标函数目标规划的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后,决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是minz二f(d+,d-)。其基本形式有三种:
要求恰好达到目标值,即正、负偏差变量都要尽可能地小,这时
minz二f(d++d-)
要求不超过目标值,即允许达不到目标值,就是正偏差变量要尽可能地小,这时
minz二f(d+)
要求超过目标值,即超过量不限,但必须是负偏差变量要尽可能地小,这时
minz二f(d-)
对每一个具体目标规划问题,可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标函数,以下用例子说明。
例2例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑:首先是产品II的产量不低于产品I的产量;其次是充分利用设备有效台时,不加班;再次是利润额不小于56元。求决策方案。
解按决策者所要求的,分别赋于这三个目标P,P,P优先因子。这问题的数学
123模型是
minPd++P(d-+d+)+Pd-
1122233
2x+x<11
12
x—x+d—d+=0
1211
<x+2x+d—d+=10
1222
8x+10x+d——d+=56
1233
x,x,d—,d+>0,i=1,2,3.
12ii
目标规划的一般数学模型为
为w-d-+w+d+
ikk/
minz=》P
lkk
k=1
l=111
工cx+d——d+=g,k=1,2,…,K
kjjkkk
j=1
<艺ax<(=,>)b,i=1,…,m
ijji
-262-
-255-
j=1
d-,d+>0,k=1,2,…,K
kk
建立目标规划的数学模型时,需要确定目标值、优先等级、权系数等,它都具有一定的主观性和模糊性,可以用专家评定法给以量化。
§2多标规划的Matlab解法
多目标规划可以归结为
miny
x,y
使得
F(x)-weight-y<goal
A-x<b,Aeq-x=beq
c(x)<0,ceq(x)=0
lb<x<ub
其中x,weight,goal,b,beq,lb和ub是向量,A和Aeq是矩阵;c(x),ceq(x)和F(x)是向量函数,他们可以是非线性函数。F(x)是所考虑的目标函数,goal是欲达到的目标,多目标规划的Matlab函数fgoalattain的用法为
[x,fval]=fgoalattain('fun',x0,goal,weight)
[x,fval]=fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b)
[x,fval]=fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
[x,fval]=fgoalattain('fun',x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
其中fun是用M文件定义的目标向量函数,x0是初值,weight是权重。A,b定义不等式约束A*x<b,Aeq,beq定义等式约束Aeq*x=Beq,nonIcon是用M文件定义的非线性约束c(x)W0,ceq(x)=0。返回值fval是目标向量函数的值。
要完整掌握其用法,请用helpfgoalattain或typefgoalattain查询相关的帮助。例3求解多目标线性规划问题
maxZ=100x+90x+80x+70x
11234
minZ=3x+2x
224
x+x>30
12
x+x>30
34
<3x+2x<120
13
3x+2x<48
24
x>0,i=1,…,4
i
解(i):
functionF=Fun(x);
F(1)=-100*x(1)-90*x(2)-80*x(2)-70*x(4);
-256-
-257-
F(2)=3*x(2)+2*x(4);
(ii)编写M文件
a=[-1
-1
0
0
0
0
-1
-1
3
0
2
0
0
3
0
2];
b=[-30-3012048]';c1=[-100-90-80-70];
c2=[0302];
[x1,g1]=linprog(c1,a,b,[],[],zeros(4,1))%求第一个目标函数的目标值[x2,g2]=linprog(c2,a,b,[],[],zeros(4,1))%求第二个目标函数的目标值g3=[g1;g2]%目标goal的值
[x,fval]=fgoalattain('Fun',rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,[],[],zeros(4,1))
%这里权重weight=目标goal的绝对值
就可求得问题的解。<br****题二十
.
x+x&lt;7
12
x&lt;5
&lt;i
x&lt;5
2
x,x&gt;0
12

Iz=3x+x
max&lt;ii2
Iz=x+2x
212
、新闻和商业节目时间。依
据法律,该台每天允许广播12小时,其中商业节目用以赢利,每分钟可收入250美元,新闻节目每分钟需支出40美元,。法律规定,正常情况下商业节目只能占广播时间的20%,每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的广播节目该如何安排?优先级如下:
p:满足法律规定的要求;
1
p:每天的纯收入最大。
2
试建立该问题的目标规划模型。
,每件产品I可获利10元,每件产品II可获利8元。每生产一件产品I,需要3小时;每生产一件产品II,。每周总的有效时间为120小时。若加班生产,;每件产品II的利润降低1元。决策者希望在允许的工作及加班时间内取最大利润,试建立该问题的目标规划模型,并求解。
第二十二章模糊数学模型
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学,(FuzzySet)基础上发展起来的一门新兴的数学分支。这门学科经过多年的发展。它在现实世界中的应用越来越广泛。
&#167;1模糊数学基本知识
。一般地说,具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。不含任何元素的集合称为空集,记为
-262-
-257-
①。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为O。若集合A匸O,则将集合{xIx电A,且xeQ}称为集合A的补集,记为Ac。集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义1设Q为全集,A为Q的子集,则集合A的特征函数指的是Q到集合
V二{0,1}的一个映射卩
A
|n:QtV
A
xT卩(x)
A
其中对应规则卩满足
A
[1xeA
卩-\
A〔0x电A
集合的特征函数具有以下性质:
卩(x)二max{y(x),卩(x)},记作卩(x)v(x)
AUBABAB
卩(x)二min{y(x),卩(x)},记作卩(x)a(x)
A「|BABAB
卩(x)=1—卩(x)
AcA


对于普通集合A及其余集Ac,任何元素xeA或xeAc,二者必居其一,且仅居其一;用特征函数来表示就是卩(x)=0或卩(x)=1有且仅有一个成立。然而,客观AA
世界中存在着大量的模糊概念,如“高个子”,“老年人”,这些概念无法用普通集合表示,因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。为了研究和处理这类模糊概念(或现象),就需要把普通集合引申到模糊集合,用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由{0,1}两个数扩展到闭区间[0,1],这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
定义2给定论域U,模糊集合A指的是论域U到区间[0,1]的一个映射卩
A
R:Ut[0,1]
A
xT卩(x)
A
对一切xeU,唯一确定实数卩(x),使得0&lt;r(x)&lt;1;用这个数表示x属于
AA
A的程度;其中函数卩(x)称为A的隶属度。而对于元素x,函数值卩(x)称为元素xAA关于A的隶属度。
卩(x)三0表示模糊集合A二①,卩(x)三1表示模糊集合A二U。
AA
由于模糊集合总是论域U的子集,故也称为模糊子集。模糊子集A通常记为A。
由于普通集合就是隶属函数值仅取0或1的特殊的模糊集合,为了方便起见,我们不~加
-258-
-263-
区别地采用大写字母A,B,C等表示模糊集合,其隶属函数一律记作卩(x),卩(x)等。
AB
例1以年龄作为论域U,取U=[0,100],模糊集合A与B分别表示概念“老年人”和“年轻人”,取隶属函数为
-262-
-259-
V、
r
1
1
/x-25丫2
5丿
0&lt;x&lt;50
50&lt;x&lt;100
0&lt;x&lt;25
25&lt;x&lt;100
隶属函数和隶属度是模糊数学中的重要概念,隶属函数不是唯一的,例如关于“老年人”的隶属函数也可以取为
「00&lt;x&lt;50
x一50
20
50&lt;x&lt;70
x&gt;70

设论域为U,则模糊集合A可表示为
A=U卩(x)/x
A
xwU
其中“/”不表示除法运算,仅表示x为元素,R(x)为x的隶属度。A
若论域U为有限论域;即设U={x,x,x},则A还可以表示为
12n
卩(x)丄卩(x)丄丄卩(x)
xxx
12n
同样,加号与除号仅是一种记号,并不表示加、除运算。
(2)A={卩(x),卩(x),•••,卩(x)}称为向量表示法。一般地,当
A1A2An
卩e[0,1](i=1,2,…,n)时,称(卩,卩,…,卩)为模糊向量。
i12n

定义3设论域为U,U的所有模糊集合作为元素构成的普通集合称为U的模糊幂集,记为P(U)。
定义4设论域为U,A和B是U的模糊集合,即AeP(U),BeP(U)。如
果对一切xeU有卩(x)&lt;卩(x),则称模糊集合B包含A,记为A匸B;如果对一AB
切xeU,有卩(x)=卩(x),则称A与B相等,记为A=B。
AB
定义5设论域为U,A和B是U的模糊集合,即AeP(U),BeP(U)。它们的隶属函数分别为卩(x)和卩(x)。A与B的并集是U的模糊集合,记为AUB,AB
其隶属函数为
卩(x)二卩(x)V卩(x)
AUBAB
A与B的交集是U的模糊集合,记为AAB,其隶属函数为
卩(x)二卩(x)A卩(x)
AABAB
-260-
-261-
A的余集是U的一个模糊集合,记为Ac,其隶属函数为
卩(x)=1—卩(x)
AcA
其中,“V”和“A”是取“最大”与“最小”的意思。
定义6设论域为U,A是U的模糊集合,仁R,且0&lt;九&lt;1,令A={xIxeU,卩(x)&gt;1}
九A
则称A为A的一个九-截集,其中1称为阈值或置信水平。
1
由定义知,A的1-截集4就是U中所有对A的隶属度大于或等于1的全体元
1素组成的普通集合。
例2设论域U二{x,x,x,x,x},
12345

A=++++-
xxxxx
12345
则A二{x,x,x,x},A二{x,x}。

定义7设论域为U,A为U的模糊集合,0&lt;X&lt;1,1与A的模糊截积记为1A,其隶属函数为卩)(x)=1a1(x)。
1AA
特别地,当A为普通集合时有
「1xeA
卩》(x)=仁.
M[0x笑A
模糊截积具有以下性质:1&lt;1=1A匸1A。
1212

定义8称R二(r)为模糊矩阵,如果对一切i二1,2,…,n,j二1,2,…,m有
jnxm
0&lt;r&lt;1。当r仅取0或1时,R二(r)为布尔矩阵。
jjjnxm
定义9设R=(r)和S=(s)为两模糊矩阵,如果对一切Aj有r=s,
ijnxmijnxmijij
则称R和S相等,记为R二S;如果对一切i,j有r&lt;s,则称S包含R,记为R匸S。ijij
定义10设R=(r)和S=(s)为两模糊矩阵,则R和S的并定义为
ijnxmijnxm
nxm
RUS二(rvs),R与S的交RPlS二(ras)。
ijijnxmijij
ijnxm
r&gt;1
ij
r&lt;1
ij
定义11设R=(r)为模糊矩阵,0&lt;1&lt;1,令
「1
r1=&lt;
ij「0
则称布尔矩阵(r1)为R的1-截矩阵,记为R〔。
jnxm1
例如
&quot;「
-262-
-261-
R=

-262-
-263-

11
01
00
10
00
01
定义12模糊矩阵R=(r)与Q=(q)的合成是一个n行l列的模糊矩阵
jnxmjkmxl
m
S=(s),记为S=R。Q,其中s=v(raq)(i=1,…,n,k=1,…,l),S又
iknxlikijjk
称为R与Q的模糊乘积。J













「「

设模糊矩阵R=
,Q=



例3

两个非空子集U与V的笛卡儿乘积定义为一个关系:
UXV={(u,v)IuGU,vGV},UXV的子集称为U到V的一个关系,记为
UV。
当(u,v)GR时,则称u与v有关系R,记为uRv,否则称u与v没有关系。类似地,我们有
定义13设U,V为两非空集合,以UxV为论域的模糊集合R确定U到V的一
个模糊关系,记作U—~^V,其中对任意(u,v)gUxV,(u,v)关于模糊集合R的
隶属度记为卩(u,v),它表示u与v关于模糊关系的相关程度,记为R(u,v),特别地,
R~
当R(u,v)的值&#39;仅取0或1时,R就是U到V的普通关系。所以普通关系是模糊关系的特殊情况,因此我们不加区别地用R,S,T等表示模糊关系,并且将模糊集合的隶属函数称为模糊关系的隶属函数,记为R(u,v),S(u,v),T(u,v)。
模糊关系可以用模糊矩阵来表示,即
定义14设U={u,u,…,u},V={v,v,…,v}都是有限论域,U到V的
12n12m
模糊关系U-&gt;V,对一切i(i=1,…,n),j(j=1,…,m),令r=R(u,v),则
ijij
称模糊矩阵(r)为模糊关系R的矩阵表示,在不出现混淆的情况下仍记为R。
ijnxm
模糊关系存在合成运算。
定义15设U,V,W为三个非空集合,U到V的模糊关系R与V到W的模糊关系S的合成是一个U到W的模糊关系T,记作T=R。S,其中对一切(u,w)gUxW有T(u,w)=v[R(u,v)aS(v,w)]。
vGV
定理1设U={u,…,u},V={v,…,v}和W={w,…,w}是三个有限论
1n1m1l