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。1 平面向量根本定理
周奕,江苏省常州市武进区洛阳高级中学.
教学目的
知识目的
(1)理解平面向量根本定理.
(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示,可以在详细问题中选取适宜的基底,使其他向量都能用这组基底来表示.
才能目的
(1)培养学生用向量解决实际问题的才能.
(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的才能.
情感目的
(1)增强学生的数学应用意识.
(2)激发学生学****数学的兴趣.
重点难点
教学重点:平面向量根本定理.
教学难点:对平面向量根本定理的理解及应用.
(1)复****回忆
师:假设向量a和非零向量b共线,那么a和b满足怎样的关系?
生:a=λb.
师:当a,b确定时,λ的值有几个?
结论:假设向量a和非零向量b共线,那么有且只有一个实数λ,使a=λb。
(2)引导探究
师:假设a和b不共线,那么上述结论还成立吗?
(学生讨论)
结论:不成立.
师:你能否添加恰当的条件使得可以表示?
学生答复.
师:设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,怎样用e1、e2表示a?
图1图2

(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法那么,两向量共线定理得:
方法:平移(向量、未知向量)-—构造((共起点)平行四边形)
=+=λ1+λ2,
即=λ1e1+λ2e2。
其中实数λ1,λ2都是惟一存在的.
设计意图:重在探究定理得出的三点,一是为何要用两个不共线的向量e1,e2来表示,二是怎样表示,三是表示的惟一性.
(3)意义建构
平面向量根本定理:(学生描绘)
假设e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1,λ2,使得
a=λ1e1+λ2e2.
师:定理中应关注哪些关键词?这些关键词如何理解?
生:不共线、有且只有.
师:我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
基底是否惟一?
图3
=+
=+.
结论:对于同一向量,
.基底不惟一,关键是要不共线.
(4)定理再认识
①假设a=0,那么有且只有:λ1=λ2=0使得a=λ1e1+λ2e2.
②假设a和e1(或e2)共线,那么有λ2=0(或λ1=0),使得a=λ1e1+λ2e2。
③一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,,当e1,e2互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解.
事实上,物理中速度、,将要用到向量a的正交分解.
图4
例1如图5,D是△ABC中BC边的中点,=a,=b,试用a,b表示(1),(2).
解:(1)=(b-a).
(2)==(+)=(a+b).
图5
设计意图:通过构造平行四边形或三角形,利用平行四边形法那么和三角形法那么,把所求的量转化到量上,从而到达解题的目的.
例2设e1,e2是平面内的一组基底,=e1+e2,=3e1-e2,=me1-5e2且A、B、C三点共线,
(1)务实数m的值;
(2)试用向量,来表示。
解:(1)∵A、B、C三点共线,
∴=λ.
又=-=(3e1-e2)-(e1+e2)=2e1-2e2,
=-=(me1-5e2)-(3e1-e2)
=(m-3)e1-4e2,
∴2e1-2e2=λ[(m-3)e1-4e2],
故有
(2)由上知,=7e1-5e2,根据平面向量根本定理,存在惟一的实数s,t,使得=s+t。
∴7e1-5e2=s(e1+e2)+t(3e1-e2).
∴=-2+3。
解题反思:①三点共线的等价条件是什么?
②向量相等,对应向量的系数相等.
设计意图:表达解方程组、待定系数法的数学思想,对前面所学知识(任意共线三点A,B,C,满足=s+t,那么s+t=1)的进一步理解.
(5)小结:
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:实数对λ1,λ2的存在性和惟一性,基底的不惟一性.
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