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第二章方程与不等式
第一节一次方程(组)及其应用
,领悟方程是刻画现实世界数目关系的有效模型.
.
.
.
,能解二元一次方程组.
6.*能解简单的三元一次方程组.
:用“=”表示相等关系的式子叫等式.
:
①假如a=b,那么a+c=b+c;
②假如a=b,那么ac=bc;假如a=b且c≠0,那么a
b
c
c
:含有未知数的等式叫做方程:使方程左右两边值相等的未知数的值
叫做方程的解,一元方程的
解也叫它的根:求方程解的过程叫做解方程.
:只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是
1的整式方程:它的一般形式为ax+b=0(a
≠0).
:①去分母
:②去括号
:③移项
:④合并
同类项:⑤系数化为
1.
:只含有
2个未知数,并且含未知数项的次数是
1的整式方程.
:适合二元一次方程的
一组未知数的值
一次方程有
无数组解.
:共含有两个未知数的两个一次方程构成的方程组叫二元一次方程组.
:二元一次方程组中各个方程的公共解.
:
消元
一元一次方程
①二元一次方程组
转变
②消元是解二元一次方程组的基本思路,方法有加减消元和代入消元法两种.
(组)解应用题的要点是:找到等量关系,建立方程(组).
(组)解应用题的步骤:审,设,列,解,验,答.
*,且含未知数项的次数是1次,这样的整式方程叫做三元一次方程,共含有3个未知数的三个一次方程构成的方程组叫三元一次方程组,解三元一次方程组的基本思路是:经过“代人”或“加减”进行消元,“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转变为解二元一次方程组,从而再转变
为解一元一次方程,
第一课时
考点一
【例1】(1)
等式的性质
依据等式性质以下变形正确的选项是
()
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=ay,得x=y
-2=4x+=4
-5=2x,得x=5
-5==7-5
【答案】C
(2)依据等式性质下到变形正确的选项是()
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=b,那么a+c=b-c
a
b
,那么a=b
c2
1c2
1
=
b,
c
c
3a,那么a=3
解题点拨:仔细分清等式的性质
2中同时除以一个数(或式子)时,此数或此
式必定不可以为
·1·c·n·j·y
【答案】B
考点二
解方程
【例2】解方程
(1)2x1
10x1
1.
3
6
【答案】解:2(2x+l)
–(10x+l)=6
4x+2-10x-1=6
4x-10x=6+1-2
-6x=5
5
x
6
2)x5x310.
解:10x
5010x30
10
3
2
20x+100-(30x-90)=60
20x+100-30x+90=60
10x=-130x=13.
解题点拨:依据解一元一次方程的步骤:
去分母、去括号、移项、合并同类项、
别是在去分母时记得每一项都要乘以分母的最小公倍数.
考点三解二元或三元一次方程组
【例3】解方程组
(1)(2019无锡)解方程组:
3x
y7
①
x
3y
.
②
1
解:由①得
y=3x-7
上式代入②得
x+3(3x
-7)=-1,
得x=2
代入①得,y=-l
x
2
∴原方程组的解是
.
y
1
(2)(
x
2y
5
①
2019云南)解方程组
.
x
y
②
2
解:①-②,得y=3,
把y=3
代入②,得x+3=2,
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解得:x=-1.
∴原方程组的解是
x
1.
y
3
2x
y
1
(3)解方程组:
y
1
4
.
3x
2
解:原方程组可化为:
2x
y
1
6x
y
,
18
两式相减得:4x=8,x=2,把x=2代入2x-y=1得y=3;
∴原方程组的解是
x
2.
y
3
x
y
5①
※(4)解三元一次方程组
x
z
②.
1
y
z
2③
解:②-③得,x-y=1④
④+①得,2x=6,x=3
将x=3代入①得,y=2
将y=2,代入③得,z=-4
x3
∴原方程组的解是y2.
z4
解题点拨:解二元(或三元)一次方程组的要点在于利用了消元思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
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考点四含参一次方程(组)
【例4】(1)若方程(m2-1)x2+mx-x+1=0是关于
x的一元一次方程,则代数式
D.-3
m+2的值为(
)
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【答案】A
解题点拨:牢牢掌握一元一次方程的一般形式为
ax+b=0(a≠0).
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(2)(2019
甘孜)已知关于
x的方程
3a-x=
x+3的解为
x=
a2-2a+1的值是
.
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2
【答案】1
解题点拨:利用方程的解的定义,将解代入含参方程,取代未知数即可.
(3)解关于x方程:ax+1=b-x.
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解题点拨:依据解一元一次方程的步骤进行,
特别注意系数化
1时要特别谈论未知项的系数能否为零.
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解:整理得:(a+1)x=b-1
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当a+1≠0,即a≠-1时,x=b1;
a1
当a+1=0,即a=-1时,
若b=1,则方程的解是一的确数;
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若b≠.
(4)若关于x、y的二元一次方程组
3x
5y
2①
的解x、y互为相反数,求
m的值.
2x
7y
m
18②
解题点拨:关于含参二元一次方程组,利用新增条件进行重组是解决这种问题的基本思路.
解:由题意得x+y=0③,联列①③得
3x
5y
2
①
x
1,
,解得
x
y
0③
y
1
将方程组的解代入②得
m=23.
课堂训练当堂检测
1.(2019大连)方程
2x+3=7的解是(
)
=5
=4
=
=2
【答案】D
2.(2019潍坊)已知一个等腰三角形的两边长
a、b满足方程组
2a
b
3
)
a
b
,则此等腰三角形的周长为(
3
【答案】A
3.(2019常州)已知x=2是关于x的方程a(x+1)=1a+x的解,则a值是
.
2
【答案】4
5
(组)(1)(2y+3)=(1-y)-(y-2).
解:2y+3=1-y-y+2
4y=0
y=0.
(2)x-2-2
x=1.
2
解:2x-4-2+x=2
3x=8
x=8.
3
x
2y
①
3
(3)
y
.
3x
2②
解:①+②×
2,得7x=7,解得x=1
把x=1代入①,得y=-1
1
∴原方程组的解为.
y1
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2x
y
①
5
(4)(2019无锡)
y
1
.
x
②
2
解:由②得:2x-2y=1③,
①-③得:y=4,
把y=4代入①得:x=9,2
x
9
∴原方程组的解为:
2.
y
4
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
()
=b,那么a-c=b-c
ab
=b,那么
c21c21
=b,那么ab
=l,那么a2=a
【答案】C
3a-x=x+3的解为x=-1,则代数式a2的值是
.
【答案】1
9
3.(2019广州)已知a,b满足方程组
a
5b
12,则a+b的值为(
)
3a
b
4
A.-4
C.-2
【答案】B
4.(2019江阴)已知
x
2是二元一次方程组
ax
by
7的解,则a-b的值为(
)
y
1
ax
by
1
A.-1
【答案】A
二、填空题
5.(2019温州)方程组
x
2y
5
的解是
.
3x
2y7
x
3
【答案】
1
y
6.(2019扬州)以方程组
y
2x
2的解为坐标的点(
x,y)在第
象限.
y
x
1
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【答案】二
7.(2019成都)已知
x
3是方程组
ax
by
3的解,则代数式(a+b)(a-b)的值为
.
y
2
bx
ay
7
【答案】-8
三、解答题
(1)3x-2(x-1)=3+2(x+3).
解:3x-2x+2=3+2x+6
x=-7.
2)8(1-x)-5(x-2)=4(2x+l)
解:8-8x-5x+10=8x+4
13x+18=8x+4
21x=14
x=2.
3
(3)(2019贺州)x
30x
5.
6
4
解:2x-3(30-x)=60
2x
-90+3x=60
5x
=150
x=30.
(4)x
x1
1
2x1.
2
3
解:6x+3x-3=6-4x+2
9x-3=8-4x
13x=11
x=11
.
13
2x
3
y①
(1)(2019无锡)解方程组:
2y
.
3x
2②
解:由①得:2x+y=3③,
③×2-②得:x=4,
把x=4代入③得:y=-5,
x4
故原方程组的解为.
y
5
x
y
①
30
(2)解方程组:
3x
2y
②
78
解:②-①×2得:x=18.
把x=18代入①得:y=12
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∴原方程组的解为
x
18.
y
12
B组提升练习
(m-1)x=1-m解的个数是(
)
【答案】C
(提示:当
m≠1时,原方程有独一解
x=-1,当m=1时,原方程有无数个解,故答案为C.)
-3=x-1有正整数解,则整数
a的取值是
.
【答案】2或3
(提示:由
ax-3=x-1得,x=
2
,因为原方程有正整数解,因此
a-1=1,2,即a=2,3.)
a
1
ax
4y
①
a获取方程组的解为
x
2,乙看错了方程②中
4
因为甲看错了方程①中的
2xby14
②
y
6
的b获取方程组的解为
x
4,若按正确的a、b计算,求原方程组的解.
y
4
x
2
4+6b=14,得b=3,
解:将
代入②得-
6
x4
将代入①得-4a+16=4,得a=3,
y4
∴原方程组为
3x
4y
4,解得
x
4.
2x
3y
14
y
2
第二课时
考点精析专项打破
考点五一元一次方程的应用
【例5】(1)(2019襄阳)王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋,分给朋友们品味,假如
每人分5袋,还余3袋;假如每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜袋.
【答案】33
解题点拨:此题主要观察了一元一次方程的应用,解题的要点是设出朋友个数,,依据朋友数相等列方程求解.
解:设有x个朋友,则
5x+3=6x-3
解得x=6
∴5x+3=33(袋).
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(2)(行程问题)休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了1小时后,爸爸发现带给外婆的
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礼品忘在家里,便马上带上礼品以每小时6千米的速度去追我们,假如我和妈妈每小时行2千米,从家里
到外婆家需要1小时45分钟,问爸爸能在我和妈妈到外婆家从前追上我们吗?www-2-1-cnjy-
解:设爸爸经过x小时追上我和妈妈,则
2+2x=6x
x=
1+=<
答:爸爸能在我和妈妈到外婆家从前追上我们.
(3)(销售问题)(2019秦州)某校七年级社会实践小组去商场检查商品销售状况,认识到该商场以每
件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采纳促销措施,,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈余
45%的预期目标?
解题点拨:销售问题中,常用的等量关系有:利润=售价-进价,售价=进价×(
1+利润率).
解:设每件衬衫降价
x元,依题意有
120×400+(120-x)×100=80×500×(1+45%),
解得x=20.
答:每件衬衫降价
20元.
考点六
二元一次方程组的应用
【例6】(2019云南)食品安所有是关乎民生的重要问题,在食品中增加过分的增加剂对人体健康有害,但
,做进一步研究,某饮料加工厂
需生产A、B两种饮料共
100瓶,需加入同种增加剂
270克,此中A饮料每瓶需加增加剂
瓶需加增加剂
3克,饮料加工厂生产了
A、B两种饮料各多少瓶?2-1-c-n-j-y
解题点拨:此题主要观察二元一次方程组的应用能力,
设A种饮料生产了
x瓶,B种饮料生产了
y瓶,
依据:①A种饮料瓶数+B种饮料瓶数=100,②A种饮料增加剂的总质量+
B种饮料增加剂的总质量=
.
解:设A种饮料生产了
x瓶,B种饮料生产了
y瓶,
依据题意,得:
x
y
100
,
2x
3y270
解得:
x30,
y
70
答:A种饮料生产了
30瓶,B种饮料生产了
70瓶.
课堂训练
当堂检测
1.(2019聊城)在如图的
2019年6
月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的
和不行能是(
)
【答案】D
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2.(2019黄冈)已知A,B两件衣饰的成本共500元,鑫洋衣饰店老板分别以
进行销售,该衣饰店共盈余130元,则A、B两件衣饰的成本各是()元.
,,,,200
30%和
20%的利润率定价后
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【答案】D
3.(2019黄冈)在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中,七年级和八年级共收到征文
118篇,且七
年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少
2篇,则七年级收到的征文有
篇.
【答案】38
4.(2019凉山)为了更好的保护漂亮图画的邛海湿地,西昌市污水办理厂决定先购买
A、B两型污水处
理设备共
20台,对邛海湿地周边污水进行办理,每台
A型污水办理设备12万元,每台B型污水办理设备
10万元,已知1台A型污水办理设备和
2台B型污水办理设备每周可以办理污水
理设备和
3台B型污水办理设备每周可以办理污水
1080吨.
(1)求A、B两型污水办理设备每周分别可以办理污水多少吨?
(2)经估量,市污水办理厂购买设备的资本不超出
230万元,每周办理污水的量不低于
4500吨,请你列
举出所有购买方案.
解:(1)设A型污水办理设备每周每台可以办理污水
x吨,B型污水办理设备每周每台可以办理污水y
吨,
x
2y
640
x
240
2x
3y
,解得
y
200
1080
即A型污水办理设备每周每台可以办理污水
240吨,B型污水办理设备每周每台可以办理污水
200吨;
(2)设购买A型污水办理设各z台,则购买曰型污水办理设备
(20-z)台,
则12z10(20z),230240z200(20z)4500
解得,≤z≤15,
第一种方案:当
z=13时,20-z=7,花销的花费为:
13×12+7×l0=226万元;
第二种方案:当
z=14时,20-z=6,花销的花费为:
14×12+6×10=228万元;
第三种方案;当
z=15时,20-z=5,花销的花费为:
15×12+5×10=230万元.
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.(2019长沙)长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器,若按标价打八折销售该电器一件,则可盈余
润500元,其利润率为
20%.现假如按同一标价打九折销售该电器一件,那么获取的纯利润为(
)
【答案】B
,每人每天可加工甲种零件
5个或乙种零件
16名工人中,一部分人加
工甲种零件,
16元,每加工一个乙种零件可盈余
1440元,则这天有(
)个工人加工甲种零件.
【答案】A
3.(2019茂名)我录了一道题,粗心是:求
100匹马恰好拉了
100斤
瓦,已知1匹大马能拉
3片瓦,3
匹小马能拉l片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有
x匹,
小马有y匹,那么可列方程组为(
)
x
y
100
x
y
100
x
y
100
x
y
100
C.
1
A.
3y
100
B.
3y
100
D.
y
100
3x
x
3x
3
y1003x
【答案】C
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4.(2019临沂)为了绿化校园,30名学生共种78
3
棵,女生每人种
2棵,该
班男生有x人,,所列方程组正确的选项是(
)
3x2y
30
2x
3y30
2x3y
78
3x
2y78
【答案】D
二、填空题
5.(2019海南)小明想从“天猫”某店购买计算器,经盘问,某品牌
A型号计算器的单价比
B型号计算
器的单价多
7台B型号的计算器的价格同样,问
A、B两种型号计算器的单
价分别是
元.
【答案】35和25
(截面为圆形的实心长条钢材)锻造
3个直径为
2cm,高为
16cm的圆柱形零
件,则需要截取
cm
长的圆钢.
【答案】12
、乙两人在
400米长的环形跑道上跑步,甲每分钟跑
240
米,乙每分钟跑
200米,二人同时同地同
向出发,
分钟后二人第一次相遇.
【答案】10
三、解答题
8.(2019深圳)荔枝是深圳的特点水果,小明的妈妈先购买了
2千克桂味和
3千克糯米味,共花销90
元:后又购买了
l
千克桂味和
2千克糯米味,共花销
55元.(每次两种荔枝的售价都不变),求桂味和
糯米味的售价分别是每千克多少元?
解:设桂味售价为每千克
x元,糯米味售价为每千克
y元,
则:
2x
3y
90
x2y
55
解得:
x
15
y
20
答:桂味售价为每千克
15元,糯米味售价为每千克
20元.
9.(2019资阳)某大型企业为了保护环境,准备购买
A、B两种型号的污水办理设备共
8台,用于同时
治理不一样成分的污水,若购买
A型2台、B型3台需54万,购买A型4台、B型2台需68万元.
(1)求出A型、B型污水办理设备的单价;
(2)经核实,一台
A型设备一个月可办理污水
220吨,一台B型设备一个月可办理污水
190吨,假如该
企业每个月的污水办理量为
1580吨,请问购买
A型设备多少台?
解:(1)设A型污水办理设备的单价为
x万元,B型污水办理设备的单价为
y万元,依据题意可得:
2x
3y
54
x
12
4x
2y
,解得
y
.
68
10
答:A型污水办理设备的单价为
12万元,B型污水办理设备的单价为
10万元:
(2)设购进a台A型污水办理设备,依据题意可得:
220a+190(8-a)=1580
解得:a=2
答:购买A型设备
2台.
重庆市2019届中考一轮《》讲解含
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