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第三节分式方程及其应用
课堂表现引导方向
认识分式和最简分式的看法,能利用分式的基天性质进行约分和通分:能进行简单的分式加、减、乘、
.
考点梳理夯实基础
.
:
1)去分母,将分式方程转变为整式方程;
2)解整式方程:
(3)验根:把整式方程的根代入,看结果能否为零,使分母为零的根是原方程的增根,必
须舍去.
【答案】.(3)最简公分母
考点一解分式方程【例1】解分式方程:
(1)(2019乐山)解方程:
1
3
x
1.
x2
2
x
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(2)(2019上海)解方程:
1
4
x2
x2
1
4
解题点拨:此题观察认识分式方程的知识,将分式方程先化为整式方程求解,求得结果后必定要检
验.
解:(1)1—3(x一2)=-(x-l),
—3x+6=-x+l.
2x=-6
x=3.
=3是原方程的解
∴原方程的解是x=3.
2)x+2-4=x2-4
2-x-2=0
x1=2,x2=-1,
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经检验x=2是增根,舍去;
x=-1是原方程的根,
∴原方程的根是x=-1.
考点二含参分式方程
【例2】(1)若关于x的分式方程
2
x
m
有增根,则m的值是
(
)
3
3
2
x
x
=-==3
=0或m=3
【答案】A
(2)若关于
x的方程
2
x
m
的解为正数,则
m的取值范围是
(
)
x2
2
2
x
<><6且m≠0D
.m>6且m≠8
【答案】C
(3)已知关于戈的方程
2
ax
3
无解,求a的值.
x2
x2
4
x2
解:2(x+2)+ax=3(x-2)
a-l)x=-10
①当a-l=0,即a=l时,
.x=-10,整式方程无解;
②当a-l≠0,即a≠1时,要原方程无解,则整式方程的根为增根
若x=2时,则a=-4;若x=-2时,则a=6;因此,a=l或-4或6.
解题点拨:含参分式方程主要三各种类,一是分式方程有增根,二是分式方程无解,三是分式方程解有
条件,总的原则都是将分式方程转变为整式方程,再依据条件谈论求解.
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考点三分式方程应用
【例3】某工厂计划在规准时间内生产24000个零件,若每天比原计划多生产30个零件,则在规准时间
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内可以多生产300个零件.
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数;
(2)为了提前完成生产任务,
T厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时,引进
5组机器人生产流
水线共同参加零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比
20个工人原计划每天生产的
霉件总数还多20%.按此测算,恰好提前两天完成
24000个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数.
解题点拨:分式方程应用题等量关系比较清楚,难度不大,特别注意不要忘掉对根的检验.
解:(1)设原计划每天生产的零件
x个,
由题意得,24000
24000
300,解得,x=2400.
x
x
30
经检验,x=2400是原方程的根,且切合题意.
∴规定的天数为24000÷2400=10(天).
答:原计划每天生产的零件
2400个,规定的天数为
10天.
(2)设原计划安排的工人人数为
y人,
由题意得[5×20×(1+20%)×2400+2400]
×(10-2)=24000
y
解得,y=480.
经检验,y=480是原方程的根,且切合题意.
答:原计划安排的工人人数为
480人.
课堂训练
当堂检测
1.(2019深圳)施T队要铺设一段全长
2000米的管道,因在中考时期需停
T两天,实质每天施工需比
本来计划多
50米,才能准时完成任务,
x米,则依据题意
所列方程正确的选项是
(
)
2000
2
B
.2000
2000
2
x
x50
x50
x
2000
2
D
.2000
2000
2
x
x50
x50
x
【答案】A
2.(2019凉山)关于戈的方程
3x
2
2
m
无解,则m的值为
(
)
x
1
x
1
A.-5B
.-
【答案】A
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3.(2019贺州)若关于戈的分式方程
【答案】a≥1且a≠4
2xa1的解为非负数,则a的取值范围是.
x22
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(1)
2
1
x
x2
3
x
2
解:2+3x-6=x-l
2x=3
x=.
=.
∴原方程的解是x=.
(2)
x
2x
1
x1
x2
1
1
解:x(x+1)一(2x-l)=x2—1
x2+x-2x+l=x2-1
x=-2
x=2.
=2是原方程的解
∴原方程的解是x=2.
中考达标
模拟自测
A组
基础训练
一、选择题
1.(2019成都)分式方程
2x
的解为
(
)
1
x3
=
-=-3
==3
【答案】B
2.(2019潍坊)若关于戈的方程
x
m
3m
的解为正数,则
m的取值范围是(
)
x
3
3
3
x
<9
<9且m≠3
>
9
>
9且m≠
3
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222444
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【答案】B
3.(2019山西)甲、乙两个搬运T搬运某种货物,已知乙比甲每小时多搬运600kg,甲搬运5000kg
用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等,求甲、
运xkg货物,则可列方程为(B)
5000
8000
B.
5000
8000
A.
600
x
x
x
600
x
8000
D
.5000
8000
x
600
x
x
x
600
【答案】B
x2
12
4x
x2
12
)
4.(2019十堰)用换元法解方程
x212
3,设
y,则原方程可化为(
x
x
1
4
1
30
4
30
30
y
y
y
y
【答案】B
二、填空题
x
m
有增根,则这个增根是
.
x1
2
1x
【答案】x=1
x
k
k
的解为负数,则
k的取值范围是
.
x
1
1
【答案】k>1
x1
且k≠1
2
(l-2a,a-2)关干原点的对称点在第一象限内,
且a为整数,则关于x的分式方程
x
1
x
a
的解是
.
【答案】x=3
所
2
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三、解答题
:
(1)
x
2
1
.
3x
13x
1
解:x=2(3x-l)+1
x=6x-2+1
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x=
1
5
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经检验,x=1是原方程的解
5
∴原方程的解是x=1
5
(2)x
2
3
1
x
3
x
3
解:x2-5x+6-3x-9=x2-9
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解得x
3
4
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3
经检验,x是分式方程的解
4
3
∴原方程的解是x.
4
(3)2
x
1
1
x
3
3
x
解:2-x-l=x-3
x=2
经检验:x=2是原方程的解.
∴原方程的解是x=2.
(4)x
1
2
1
x
1
x2
1x1
解:去分母得:(
x+l)2-2=x-l,
整理得:x2+x=0,即x(x+1)=0,
解得:x=0或x=-1,
经检验x=-1是增根.
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∴原方程的解是x=0.
9.(2019聊城)为加快城市群的建设与发展,在A,B两城市间新建一条城际铁路,建成后,铁路运转
是现行时间的2,求建成后的城际铁路在A,B两地的运转时间.
5
解:设城际铁路现行速度是xkm/h.
由题意得:120
2
114
x
5
x110
解这个方程得:x=80.
经检验:x=80是原方程的根,且切合题意.
则现行时间:
120÷80×2
=(小时)
5
答:建成后的城际铁路在A,.
组提升练习
10.(2019梅州)关于实数以、
6,定义一种新运算“
”为:a
b
1
,这里等式右侧是实数运
a
b2
1
1,则方程x2
2
:1
3=
1的解是(
)
1
32
8
x
4
====7
【答案】B
(提示:依题意,得:
x
2
2
,因此,原方程化为:
1
2
1,
x4
x
4
x
4
1
即:
1,解得:x=5.)
x4
11.(2019凉山)若实数
x满足x
2
2
2x
1
0
,则x
2
1
.
x
2=
【答案】10
(提示:依据x2
22x
1
0,可以求得x
1
的值,从而可以获取
x21
的值,∵x2
22x1
0,
x
x2
∴x
1
22,∴(x
1)2
8,即x2
2
1
8,∴x2
1
10,故答案为:10)
x
x
x2
x2
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,计划在广场内种植4、B两栽花木共6600棵,若4花木
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数目是B花木数目的2倍少600棵.
(1)A、B两栽花木的数目分别是多少棵?
(2)假如园林处安排26人同时种植这两栽花木,每人每天能种植4花木60棵或
安排多少人种植4花木和B花木,才能保证同时完成各白的任务?
解:(1)设曰栽花木的数目是x棵,则A栽花木的数目是(2x-600)棵.
依据题意,得x+(2x-600)=6600,
解得x=2400,2x-600=4200.
答:A栽花木的数目是4200棵,口栽花木的数目是2400棵.
(2)设安排y人种植A栽花木,则安排(26-y)人种植曰栽花木.
B花木
40棵,应分别
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依据题意,得
4200
2400
,解得
y=14.
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60y
4026
y
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经检验,y=14是原方程的根,且切合题意.
26-y=12.
答:安排14人种植A栽花木,安排12人种植B栽花木,才能保证同时完成各自的任务.
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2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1.
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如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为
2,宽为
1,A、B两点在网格格点上,若点
C也在网格格点
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上,以
A、B、C为极点的三角形面积为
2,则满足条件的点
C个数是(
)
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,AB∥CD,∠1=45°,∠3=80°,则∠
2的度数为(
)
°°°°
,且使关于y的分式方程=2有非
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负整数解,则满足条件的全部整数
a的和是
(
)
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y=ax2+(a+2)x﹣1(a为常数,且
a≠0),(
)
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>0,则x<﹣1,y随x的增大而增大
>0,则x<﹣1,y随x的增大而减小
<0,则x<﹣1,y随x的增大而增大
<0,则x<﹣1,y随x的增大而减小
,两个小正方形的边长都是1,以A为圆心,AD为半径作弧交BC于点G,则图中暗影部分的面积
为()
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A.
B.
C.
D.
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,童老师随机检查了
30名同学,结果以下表:
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每天使用零花销(单位:元)
5
10
15
20
25
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人数
2
5
8
x
6
则这30名同学每天使用的零花销的众数和中位数分别是(
)
、15
、
、20
、15
:①y=2x;②y=-2x<0
;③y=3-2x;④y=2x2+x
x0,此中,y随x增大而增大的
x
函数有()
,将
O沿弦MN折叠,圆弧恰好经过圆心
O,点A劣弧MN上一点,则
MAN的度数为(
)
C.
120
,OAC和BAD都是等腰直角三角形,
ACO
ADB
90,反比率函数y
k
在第一象
x
限的图象经过点
B,则
OAC和
BAD的面积之差SOAC
SBAD为(
)
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A.
2k
C.
1k
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2
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:拼搭第
1个图案需
4根小木棒,拼搭第
2
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个图案需
10根小木棒,,依此规律拼成第
6个图案需小木棒(
)根.
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()
1
C.
2
D.
3
A.
2
2
2
:关于函数
y=xn,规定y'=n×xn﹣=x4,则有y'=4×x3,已知函数y=x3,
则方程y'=6x
的解是(
)
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